Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 17 trong sách Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Để hiểu rõ vấn đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đường tròn, khoảng cách giữa hai điểm và mối quan hệ giữa chúng.

1. Các khái niệm cơ bản

Đường tròn: Tập hợp tất cả các điểm nằm trên một mặt phẳng, cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính).
Khoảng cách giữa hai điểm: Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Khoảng cách giữa hai tâm: Khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn.

2. Các vị trí tương đối của hai đường tròn

Dựa vào mối quan hệ giữa khoảng cách giữa hai tâm (d) và bán kính của hai đường tròn (R₁ và R₂), ta có thể xác định các vị trí tương đối sau:

Hai đường tròn không giao nhau:
- Hai đường tròn ngoài nhau: d > R₁ + R₂
- Một đường tròn nằm ngoài đường tròn kia: d > |R₁ - R₂|
Hai đường tròn tiếp xúc:
- Tiếp xúc ngoài: d = R₁ + R₂
- Tiếp xúc trong: d = |R₁ - R₂|
Hai đường tròn giao nhau: |R₁ - R₂| < d < R₁ + R₂
Một đường tròn nằm trong đường tròn kia: d < |R₁ - R₂|

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O₁; 3cm) và (O₂; 2cm). Khoảng cách giữa hai tâm O₁O₂ = 6cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải: Ta có O₁O₂ = 6cm, R₁ = 3cm, R₂ = 2cm. Vì O₁O₂ = R₁ + R₂ + 1cm > R₁ + R₂, nên hai đường tròn không giao nhau và nằm ngoài nhau.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O₁; 5cm) và (O₂; 3cm). Khoảng cách giữa hai tâm O₁O₂ = 2cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải: Ta có O₁O₂ = 2cm, R₁ = 5cm, R₂ = 3cm. Vì O₁O₂ = |R₁ - R₂| = |5 - 3| = 2cm, nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O'; 2cm). Khoảng cách giữa hai tâm OO' = 5cm. Hai đường tròn có giao điểm không? Vì sao?

Bài 2: Cho hai đường tròn (A; 3cm) và (B; 5cm). Khoảng cách giữa hai tâm AB = 8cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn, cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như:

Khi khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hoặc hiệu hai bán kính, hai đường tròn tiếp xúc.
Khi khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính, hai đường tròn không giao nhau.
Khi khoảng cách giữa hai tâm nhỏ hơn hiệu hai bán kính, một đường tròn nằm trong đường tròn kia.

Việc nắm vững các khái niệm và công thức trên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn một cách dễ dàng và chính xác.