Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất đối xứng của hình. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép đối xứng trục trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục D_d qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

• d được gọi là trục đối xứng.
• M’ được gọi là ảnh của M qua phép đối xứng trục D_d.

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có những tính chất quan trọng sau:

1. Bảo toàn khoảng cách: Nếu M’ là ảnh của M qua D_d thì MN = M’N’ với mọi điểm N.
2. Bảo toàn góc: Nếu M’ là ảnh của M qua D_d thì ∠(MN, MP) = ∠(M’N, M’P) với mọi điểm N, P.
3. Biến đường thẳng vuông góc với trục đối xứng thành chính nó.
4. Biến đường thẳng song song với trục đối xứng thành chính nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0. Phép đối xứng trục D_d biến điểm M(x₀, y₀) thành điểm M’(x’, y’) có tọa độ được xác định như sau:

x’ = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

y’ = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Ứng dụng của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học:

• Xây dựng các hình đối xứng.
• Giải các bài toán tìm điểm, đường thẳng thỏa mãn điều kiện đối xứng.
• Chứng minh các tính chất hình học.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục D_d.

Giải:

Ta có a = 1, b = -1, c = 1, x₀ = 1, y₀ = 2.

ax₀ + by₀ + c = 1(1) - 1(2) + 1 = 0

Do đó, A’(1, 2).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hai tam giác đối xứng qua một đường thẳng thì bằng nhau.

Giải:

Gọi hai tam giác là ABC và A’B’C’ đối xứng qua đường thẳng d. Khi đó, AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’. Do đó, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

6. Bài tập luyện tập

1. Tìm ảnh của điểm B(-3, 1) qua phép đối xứng trục D_d với d: 2x + y - 5 = 0.
2. Chứng minh rằng đường tròn là một hình đối xứng qua mọi đường thẳng đi qua tâm của nó.
3. Cho hình vuông ABCD. Tìm một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành chính nó.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đối xứng trục. Chúc bạn học tập tốt!