THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 14, 15 trong Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của bài toán.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về một chủ đề cụ thể trong chương trình. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2, trang 14 và 15, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Bài 1 yêu cầu học sinh thực hiện một phép tính hoặc chứng minh một đẳng thức. Lời giải sẽ bắt đầu bằng việc phân tích đề bài, xác định các yếu tố quan trọng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Sau đó, các bước giải sẽ được trình bày một cách rõ ràng, logic, kèm theo giải thích chi tiết để học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được.
Bài 2 có thể là một bài toán ứng dụng thực tế hoặc một bài toán liên quan đến các khái niệm đã học. Lời giải sẽ tập trung vào việc xây dựng mô hình toán học phù hợp với bài toán, sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật toán học để giải quyết vấn đề. Kết quả cuối cùng sẽ được kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác.
Bài 3 có thể là một bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Lời giải sẽ được chia thành các bước nhỏ, mỗi bước tập trung vào một khía cạnh cụ thể của bài toán. Việc giải thích rõ ràng các bước giải là rất quan trọng để học sinh hiểu được logic và phương pháp giải.
Bài 4 có thể là một bài toán mở, yêu cầu học sinh tự tìm tòi và khám phá. Lời giải sẽ cung cấp các gợi ý và hướng dẫn để học sinh có thể tự giải quyết bài toán. Việc khuyến khích học sinh tự suy nghĩ và tìm tòi là rất quan trọng để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo.
Để giải bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, học sinh cần:
Kiến thức và kỹ năng được học trong mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:
Để học tốt môn Toán 11 - Kết nối tri thức, học sinh cần dành thời gian ôn tập kiến thức thường xuyên, làm bài tập đầy đủ và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Việc học tập một cách chủ động và tích cực sẽ giúp các em đạt được kết quả tốt nhất.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab | Công thức tính bình phương của một tổng |
| sin2x + cos2x = 1 | Công thức lượng giác cơ bản |
