Giải bài 3.13 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 3.13 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến sự thay đổi của một đại lượng. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định hàm số: Đầu tiên, cần xác định hàm số mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
2. Tính đạo hàm: Tiếp theo, tính đạo hàm của hàm số để tìm ra tốc độ thay đổi của đại lượng.
3. Phân tích đạo hàm: Phân tích dấu của đạo hàm để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến và tìm các điểm cực trị.
4. Giải quyết bài toán: Cuối cùng, sử dụng các kết quả phân tích đạo hàm để giải quyết bài toán được đặt ra.

Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là về tối ưu hóa một hình hộp chữ nhật nội tiếp trong một hình cầu, ví dụ)

Một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông nội tiếp trong một hình cầu có bán kính R. Hãy tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để thể tích của nó đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập hàm số

Gọi x là độ dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật và h là chiều cao của hình hộp. Vì hình hộp chữ nhật nội tiếp trong hình cầu bán kính R, ta có mối quan hệ:

(x/2)^2 + (h/2)^2 = R^2

Suy ra: h = 2√(R^2 - x^2/4)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: V = x^2h = 2x^2√(R^2 - x^2/4)

Bước 2: Tính đạo hàm

V' = 4x√(R^2 - x^2/4) + 2x^2 * (1/2) * (R^2 - x^2/4)^(-1/2) * (-2x/4)

V' = 4x√(R^2 - x^2/4) - (x^3/2) / √(R^2 - x^2/4)

Bước 3: Tìm điểm cực trị

V' = 0 khi 4x√(R^2 - x^2/4) = (x^3/2) / √(R^2 - x^2/4)

Suy ra: 4x(R^2 - x^2/4) = x^3/2

4R^2x - x^3 = x^3/2

4R^2x = (3/2)x^3

x = 0 (loại) hoặc x^2 = (8/3)R^2 => x = (2√2/3)R

Bước 4: Kết luận

Khi x = (2√2/3)R, ta có h = 2√(R^2 - (8/9)R^2) = 2√(R^2/9) = (2/3)R

Vậy, kích thước của hình hộp chữ nhật để thể tích đạt giá trị lớn nhất là: cạnh đáy x = (2√2/3)R và chiều cao h = (2/3)R.

Lưu ý quan trọng:

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số và đạo hàm.
• Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản một cách chính xác.
• Phân tích kỹ dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý của bài toán.

Bài tập 3.13 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một ví dụ điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.

Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và có thêm động lực để học tập môn Toán.