Giải bài 3.16 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 3.16 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức - Lời giải chi tiết

Bài 3.16 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số cho ta biết độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
3. Tìm các điểm dừng: Các điểm dừng là các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không tồn tại.
4. Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, ta có thể xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
5. Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị là các điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.
6. Tính đạo hàm bậc hai: Đạo hàm bậc hai cho ta biết độ lồi lõm của đồ thị hàm số.
7. Khảo sát dấu của đạo hàm bậc hai: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc hai, ta có thể xác định các điểm uốn của đồ thị hàm số.
8. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài 3.16 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Để giải bài 3.16, ta thực hiện theo các bước sau (giả sử hàm số cụ thể là f(x) = x^3 - 3x^2 + 2):

• Bước 1: Tập xác định: Hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là R.
• Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x^2 - 6x.
• Bước 3: Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
• Bước 4: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất:
  • Khi x < 0, f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
  • Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
  • Khi x > 2, f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).
• Bước 5: Tìm điểm cực trị:
  • Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
  • Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
• Bước 6: Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6.
• Bước 7: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc hai:
  • Khi x < 1, f''(x) < 0 => Hàm số lõm trên khoảng (-∞, 1).
  • Khi x > 1, f''(x) > 0 => Hàm số lồi trên khoảng (1, +∞).
• Bước 8: Điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0, ta được x = 1. Tại x = 1, f''(x) đổi dấu => Hàm số có điểm uốn tại x = 1, giá trị tại điểm uốn là f(1) = 0.

Kết luận: Hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2, đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2 và có điểm uốn tại x = 1 với giá trị là 0.

Đây là một ví dụ minh họa. Trong bài toán thực tế, hàm số có thể phức tạp hơn, đòi hỏi chúng ta phải áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết.

Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số

Đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát hàm số, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số chính xác và ứng dụng vào các bài toán thực tế. Cụ thể, đạo hàm giúp chúng ta:

• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• Xác định tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
• Tìm các điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số.

Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là rất quan trọng đối với học sinh lớp 11, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia.

Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 3.16 trang 79 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.