THCS
THCS
Bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp cận nhất, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d.
Đề bài
Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên hoặc 2 góc ở đáy bằng nhau.
Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh song song.
Lời giải chi tiết
Vì M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d nên phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm M và biến điểm B thành điểm N. Do đó, d là đường trung trực của đoạn thẳng AM và đoạn thẳng BN. Suy ra AM // BN (vì cùng vuông góc với d).
Suy ra tứ giác AMNB là hình thang (1).
Gọi F là trung điểm của BN, khi đó F thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BN nên phép đối xứng trục d biến điểm F thành chính nó.
Từ đó suy ra phép đối xứng trục d biến góc ABF thành góc MNF nên \(\widehat {ABF} = \widehat {MNF}\) hay \(\widehat {ABN} = \widehat {MNB}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMNB là hình thang cân.
Vậy A, B, M, N là 4 đỉnh của một hình thang cân.
Bài 1.8 yêu cầu chúng ta tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi công thức đệ quy u1 = 1 và un+1 = un + 2n + 1.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un), ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Với n = 1, ta có u1 = 1. Công thức số hạng tổng quát dự đoán là un = n2. Thay n = 1 vào công thức, ta được u1 = 12 = 1, đúng với giá trị đã cho.
Giả sử công thức uk = k2 đúng với một số nguyên dương k bất kỳ.
Ta cần chứng minh rằng uk+1 = (k+1)2. Theo công thức đệ quy, ta có:
uk+1 = uk + 2k + 1
Thay uk = k2 (theo giả sử quy nạp), ta được:
uk+1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2
Vậy, công thức đúng với n = k+1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức un = n2 đúng với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (un) với u1 = 1 và un+1 = un + 2n + 1 là một dãy số đặc biệt. Sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp (un+1 - un) là 2n + 1, một biểu thức tuyến tính theo n. Điều này gợi ý rằng số hạng tổng quát có thể là một đa thức bậc hai theo n.
Việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học là một cách tiếp cận tiêu chuẩn để chứng minh các công thức số hạng tổng quát của dãy số được định nghĩa bằng công thức đệ quy.
Hãy tính u5 bằng công thức un = n2:
u5 = 52 = 25
Chúng ta cũng có thể tính u5 bằng cách sử dụng công thức đệ quy:
Kết quả trùng khớp, chứng tỏ công thức un = n2 là chính xác.
Khi giải các bài tập về dãy số, việc hiểu rõ công thức đệ quy và phương pháp quy nạp toán học là rất quan trọng. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các kỹ năng này.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Montoan.com.vn hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
