Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu - Toán 12 (Kết nối tri thức)

Bài 4 trong chuyên đề này là một bước tiến quan trọng trong việc ứng dụng đạo hàm vào giải quyết các bài toán thực tế. Nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong bài này sẽ giúp học sinh có thể giải quyết nhiều dạng bài tập tối ưu khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết các bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định hàm số: Xây dựng hàm số biểu diễn đại lượng cần tìm tối ưu (ví dụ: diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận) theo các biến số.
2. Tìm tập xác định: Xác định miền xác định của hàm số, dựa trên các điều kiện thực tế của bài toán.
3. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.
4. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.
5. Kiểm tra điều kiện: Kiểm tra xem các điểm cực trị có thuộc miền xác định hay không.
6. So sánh giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của miền xác định để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

II. Phân loại các dạng bài toán tối ưu thường gặp

Các bài toán tối ưu thường gặp có thể được phân loại như sau:

• Bài toán tối ưu hình học: Tìm kích thước của một hình để diện tích, thể tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Bài toán tối ưu kinh tế: Tìm sản lượng để lợi nhuận, chi phí thấp nhất.
• Bài toán tối ưu vật lý: Tìm vận tốc, gia tốc để đạt được hiệu quả cao nhất.

III. Ví dụ minh họa và lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật. Hỏi mảnh vườn đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x và y. Ta có chu vi mảnh vườn là 2(x + y) = 100, suy ra y = 50 - x. Diện tích mảnh vườn là S = x * y = x * (50 - x) = 50x - x².

Đạo hàm của S theo x là S' = 50 - 2x. Giải phương trình S' = 0, ta được x = 25. Khi đó y = 50 - 25 = 25.

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất khi chiều dài và chiều rộng đều bằng 25m, và diện tích lớn nhất là S = 25 * 25 = 625m².

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5.
• Bài 2: Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ không nắp. Biết rằng thể tích của hộp là 128π cm³. Hỏi bán kính đáy của hộp bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất?

V. Kết luận

Bài 4 đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để vận dụng đạo hàm vào giải quyết các bài toán tối ưu. Việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức này vào thực tế sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong cuộc sống và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.