Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đề bài
Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết
Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật, y là chiều dài của hình chữ nhật (\(0 \le x,y \le 10\), mét)
Khi đó, bán kính hình tròn là \(\frac{x}{2}\) Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn: \(\frac{{\pi x}}{2}\)
Độ dài mép ngoài cửa sổ là: \(x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 10 \Rightarrow y = \frac{{20 - \pi x - 2x}}{4}\)
Diện tích cửa sổ là: \(S(x) = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + x.\frac{{20 - \pi x - 2x}}{4} = \frac{{ - \pi - 4}}{8}{x^2} + 5x\)
\(\begin{array}{l}S'(x) = \frac{{ - \pi - 4}}{4}x + 5\\S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{20}}{{\pi + 4}}\end{array}\)
Ta có: \(S(0) = 0;S\left( {\frac{{20}}{{\pi + 4}}} \right) \approx 7;S(10) = - 12,5\pi \)
Vậy \({x_{{\rm{max}}}} = \frac{{20}}{{\pi + 4}} \approx 2,8(m),y \approx 1,4(m)\).
Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa. Điều này quan trọng để đảm bảo các phép toán đạo hàm được thực hiện hợp lệ.
- Tính đạo hàm cấp một (f'(x)): Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm các điểm dừng của hàm số: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng không. Các giá trị này là các điểm dừng, có thể là cực đại, cực tiểu hoặc điểm uốn.
- Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng. Điều này giúp xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
- Kết luận về cực trị: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Phân tích cụ thể bài toán 2.6 trang 42
Để minh họa, xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên:
- Tập xác định: R (hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực).
- Đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x2 - 6x.
- Điểm dừng: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
- Bảng biến thiên:
| Khoảng | x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
- Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
- Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Ứng dụng của việc giải bài tập 2.6
Việc giải bài tập 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và khả năng phân tích. Những kỹ năng này rất quan trọng trong học tập và trong cuộc sống.
Ngoài ra, việc hiểu rõ cách giải bài tập này còn giúp học sinh áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế, như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước, hoặc tối ưu hóa một quy trình sản xuất.
Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm
- Luôn kiểm tra lại các bước tính đạo hàm để tránh sai sót.
- Vẽ đồ thị hàm số để minh họa kết quả và kiểm tra tính hợp lý.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để kiểm tra lại kết quả.
- Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Montoan.com.vn hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài toán thú vị khác trên Montoan.com.vn!
