Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một khu vực hình tròn có bán kính 20 m được bao quanh bởi một lối đi bộ (như hình vẽ). Một bóng đèn được lắp ở trên đỉnh cột nằm ở trung tâm của khu vực. Hỏi độ cao của cột đèn là bao nhiêu thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ? Biết rằng cường độ chiếu sáng cho bởi công thức \(I = \frac{{\sin \theta }}{s}\), trong đó s là khoảng cách từ nguồn sáng và \(\theta \) là góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt.

Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 2

Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.

Lời giải chi tiết

Gọi h là chiều cao của đèn (h>0,mét)

Ta có: \(I = \frac{{\sin \theta }}{s} = \frac{h}{{{s^2}}} = \frac{h}{{{h^2} + 400}}\)

Xét hàm số \(I(h) = \frac{h}{{{h^2} + 400}},h > 0\)

Ta có: \(I'(h) = \frac{{400 - {h^2}}}{{{{\left( {{h^2} + 400} \right)}^2}}}\)

\(I'(h) = 0 \Leftrightarrow h = 20\) (do \(h > 0\)).

Ta có bảng biến thiên:

Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 3

Vậy khi chiều cao của cột đèn là 20m thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ.

Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Phân tích và Lời giải chi tiết

Bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.

I. Đề bài bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

(Đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của nó.)

II. Phương pháp giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm bậc nhất giúp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị. Sau đó, xét dấu của f'(x) để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Tính đạo hàm bậc hai f''(x): Đạo hàm bậc hai giúp xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số và các điểm uốn.
Tìm các điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Xác định giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và các giá trị đặc biệt: Giúp xác định tiệm cận của đồ thị hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị hàm số.

III. Lời giải chi tiết bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước thực hiện theo phương pháp giải đã nêu trên. Cần có các phép tính cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận chính xác.)

Ví dụ:

Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2.

Tập xác định: D = R
f'(x) = 3x² - 6x
Giải f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại
f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu
Khoảng đồng biến: (-∞; 0) và (2; +∞)
Khoảng nghịch biến: (0; 2)

Từ đó, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.

IV. Lưu ý khi giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Nắm vững các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Thực hiện các phép tính cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Luyện tập thêm các bài tập tương tự để hiểu rõ hơn về phương pháp giải.

V. Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự sau:

Bài 2.17 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Bài 2.18 trang 46 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Montoan.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh giải quyết thành công bài tập 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!