Giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn \(\theta \) lớn nhất)?
Đề bài
Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn \(\theta \) lớn nhất)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.
Lời giải chi tiết
Đặt AC = x (m) ta có \(CD = \sqrt {{x^2} + 9} \), \(BC = \sqrt {{x^2} + 49} \)
Ta có: \(\sin B = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}\)
Xét tam giác BDC có:
\(\frac{{CD}}{{\sin B}} = \frac{{BD}}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}}} = \frac{4}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }}\)
Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn \(\theta \) lớn nhất.
Xét hàm số \(y = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }},x > 0\)
Ta có: \(y' = \frac{{ - 4{x^4} + 1764}}{{\left( {{x^4} + 58{x^2} + 441} \right)\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {21} \approx 4,58\)
Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.
Giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
- Định nghĩa đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp)
- Đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit)
Dưới đây là đề bài chi tiết:
(Đề bài bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm f'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số.)
Lời giải chi tiết
Để giải bài 2.15, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
- Bước 2: Tìm các điểm cực trị
- Bước 3: Xác định loại điểm cực trị
- Khoảng (-∞, 0): f'(x) > 0, hàm số đồng biến
- Khoảng (0, 2): f'(x) < 0, hàm số nghịch biến
- Khoảng (2, +∞): f'(x) > 0, hàm số đồng biến
- Bước 4: Tính giá trị cực đại và cực tiểu
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
f(0) = 2 (giá trị cực đại)
f(2) = -2 (giá trị cực tiểu)
Kết luận
Hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Các bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự sau:
- Bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Bài 2.17 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Các bài tập về đạo hàm trong sách giáo khoa Toán 12
Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm
Khi giải bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý những điều sau:
- Nắm vững định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm
- Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm
- Kiểm tra lại kết quả sau khi tính đạo hàm
- Vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!
