THCS
THCS
Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức (F = frac{{cmg}}{{csin theta + cos theta }}) trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi (tan theta = c.)
Đề bài
Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức
\(F = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta + \cos \theta }}\)
trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi \(\tan \theta = c.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.
Lời giải chi tiết
Xét \(F\left( \theta \right) = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta + \cos \theta }},\theta \in \left[ {0^\circ ,90^\circ } \right]\).
\(\begin{array}{l}F'\left( \theta \right) = \frac{{ - cmg\left( {c.c{\rm{os}}\theta - \sin \theta } \right)}}{{{{\left( {c\sin \theta + \cos \theta } \right)}^2}}}\\F'\left( \theta \right) = 0 \Leftrightarrow c.c{\rm{os}}\theta - \sin \theta = 0 \Leftrightarrow \tan \theta = c\end{array}\)
Giả sử \(\theta = {\theta _0}\) thỏa mãn \(\tan {\theta _0} = c\).
Ta thấy: Khi \(0 \le \theta < {\theta _0}\) thì \(F'(\theta ) < 0\), khi \({\theta _0} < \theta \le 90^\circ \) thì \(F'(\theta ) > 0\).
Do đó lực kéo F nhỏ nhất tại \(\theta = {\theta _0}\) tức là khi \(\tan {\theta _0} = c\).
Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2(x+2). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?)
Để giải bài toán này, chúng ta cần:
Để hàm số y = f(x) đồng biến trên một khoảng, điều kiện cần và đủ là đạo hàm f'(x) > 0 trên khoảng đó. Ta xét dấu của f'(x) = (x-1)^2(x+2):
Vậy, f'(x) > 0 khi x > -2 và x ≠ 1.
Do đó, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2, 1) và (1, +∞).
Khi giải các bài toán về đạo hàm, cần lưu ý:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích kỹ lưỡng trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
