Trắc nghiệm Bài 3: Hàm số bậc nhất y=ax+b(a≠0) Toán 8 Chân trời sáng tạo

Với \(x = 3\) ta có: \(y = 3.\frac{1}{3} + 6 = 1 + 6 = 7\)

Công thức biểu thị số tiền y (đồng) thu được khi bán x kg vải thiều loại I là \(y = 40\;000x\), y là hàm số bậc nhất của x.

Để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2}\) là hàm số bậc nhất thì \(m - 1 \ne 0\)

\(m \ne 1\)

Do đó, hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2}\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 1\)

Vậy có 1 giá trị của m để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2}\) không là hàm số bậc nhất là \(m = 1\)

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

+ Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

Với \(x = 0\) ta có \(y = \frac{{ - 1}}{5}.0 + 7 = 7\)

Do đó, điểm C(0; 7) thuộc hàm số bậc nhất \(y = \frac{{ - 1}}{5}x + 7.\)

Các điểm còn lại thay tọa độ vào đều không thuộc hàm số bậc nhất \(y = \frac{{ - 1}}{5}x + 7.\)

Vì điểm M(2; 4) thuộc hàm số trên nên \(x = 2;y = 4,\) thay vào hàm số \(y = 2x + b\) ta có:

\(4 = 2.2 + b\)

\(4 = 4 + b\)

\(b = 0\)

Ta có: \(y = 3mx + 6m - x = \left( {3m - 1} \right)x + 6m\)

Để hàm số \(y = \left( {3m - 1} \right)x + 6m\) là hàm số bậc nhất thì:

\(3m - 1 \ne 0\)

\(3m \ne 1\)

\(m \ne \frac{1}{3}\)

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

Vì điểm A(1; 7) thuộc hàm số trên nên \(7 = a.1 + 1\)

\(a = 7 - 1 = 6\) (thỏa mãn)

Do đó, hàm số cần tìm là \(y = 6x + 1\)

Thay tọa độ các điểm M, N, P vào hàm số trên thì ta thấy chỉ có điểm M(2; 13) thuộc hàm số

\(y = 6x + 1\)

Vậy có 1 điểm trong 3 điểm M, N, P thuộc hàm số.

Chiều dài sau khi tăng x(m) là: \(x + 2\left( m \right)\)

Chiều rộng sau khi tăng x(m) là: \(x + 3\left( m \right)\)

Chu vi của hình chữ nhật mới là: \(y = 2\left( {x + 2 + x + 3} \right) = 2\left( {2x + 5} \right) = 4x + 10\)

Do đó, \(y = 4x + 10\) là hàm số bậc nhất theo biến số x.

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

+ Số tiền An tiết kiệm được sau t ngày là: \(m = 10\;000t\), do đó m là hàm số bậc nhất của t.

+ Sau 4 ngày kể từ ngày bắt đầu tiết kiệm, An tiết kiệm được số tiền là: \(m = 4.10\;000 = 40\;000\) (đồng)

+ An còn thiếu số tiền là: \(2\;000\;000 - 400\;000 = 1\;600\;000\) (đồng) nên \(m = 1\;600\;000\)

Ta có: \(1\;600\;000 = m.10\;000\)\( \Rightarrow \)\(m = 160\) (ngày)

Do đó, sau 160 ngày kể từ ngày tiết kiệm, An có thể mua được xe đạp đó.

Vậy trong 3 khẳng định trên, có 1 khẳng định đúng.

+ Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

Đổi 1 phút\( = 60\) giây

Mỗi phút tốn dung lượng 1MB nên mỗi giây tốn \(\frac{1}{{60}}MB\)

Hàm số f(x) biểu thị dung lượng tiêu tốn (MB) theo thời gian sử dụng internet x (giây) là \(y = \frac{1}{{60}}x\)

Hàm số g(x) biểu thị dung lượng cho phép còn lại (MB) sau khi sử dụng internet được x (giây) là \(g\left( x \right) = 5 - \frac{1}{{60}}x\)

Sau khi sử dụng internet 2 phút\( = 120\) giây thì dung lượng cho phép còn lại là:

\(g\left( {120} \right) = 5 - \frac{{120}}{{60}} = 3\left( {MB} \right)\)

+ Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

Ta có: \(2y + 4x + 6 = 0\)

\(y + 2x + 3 = 0\)

\(y = - 2x - 3\)

Với \(x = 0\) thì \(y = - 3\) nên điểm thuộc trục tung có tung độ bằng -3 thuộc hàm số (1)

Với \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ - 3}}{2}\) nên điểm thuộc trục hoành có hoành độ bằng \(\frac{{ - 3}}{2}\) thuộc hàm số (1)

Do đó, trong các khẳng định trên có 2 khẳng định sai.

+ Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

Để (1) là hàm số bậc nhất thì \(m \ne \frac{1}{2}\)

Vì điểm A thuộc trục hoành và có hoành độ bằng 1 nên \(x = 1;y = 0\)

Do đó, \(0 = \left( {2m - 1} \right).1 + {m^2} + 2 = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\)

\(m + 1 = 0\)

\(m = - 1\) (thỏa mãn)

Hàm số \(y = \left( {{a^2} - 4} \right){x^2} + \left( {b - 3a} \right)\left( {b + 2a} \right)x - 2\) là hàm số bậc nhất khi \({a^2} - 4 = 0\) và \(\left( {b - 3a} \right)\left( {b + 2a} \right) \ne 0\)

+) \({a^2} - 4 = 0\)

\({a^2} = 4\)

\(a = \pm 2\)

+) \(\left( {b - 3a} \right)\left( {b + 2a} \right) \ne 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b \ne 3a\\b \ne - 2a\end{array} \right.\)

Với \(a = 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}b \ne 6\\b \ne - 4\end{array} \right.\)

Với \(a = - 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}b \ne - 6\\b \ne 4\end{array} \right.\)

+ Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), trong đó a, b là các số cho trước và a khác 0.

+ Sử dụng giá trị của hàm số bậc nhất.

Vì \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) thuộc hàm số \(y = ax + b\) nên \({y_1} = a{x_1} + b\), suy ra \(y - {y_1} = a\left( {x - {x_1}} \right)\) (1)

Vì \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thuộc hàm số \(y = ax + b\) nên \({y_2} = a{x_2} + b\), suy ra \({y_2} - {y_1} = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

Hàm số (1) là hàm số bậc nhất khi \(2m + {m^2} + 6 \ne 0\)

Mà \({m^2} + 2m + 6 = {m^2} + 2m + 1 + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\) với mọi giá trị của m

Do đó, hàm số (1) luôn là hàm số bậc nhất với mọi giá trị của m.

Hàm số (2) là hàm số bậc nhất khi \( - 2{m^4} + 8{m^2} - 20 \ne 0\)

Mà \( - 2{m^4} + 8{m^2} - 20 = - 2\left( {{m^4} - 4{m^2} + 4} \right) - 4 = - 2{\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 4 < 0\) với mọi giá trị của m

Do đó, hàm số (2) là hàm số bậc nhất với mọi giá trị của m.

Vậy không có giá trị của m để cả 2 hàm số trên không là hàm số bậc nhất.

Đồ thị của hàm số \(y = 1 + 2x\) đi qua các điểm có tọa độ (0; 1) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\) nên hình 1 là đồ thị của hàm số \(y = 1 + 2x\)

Với x = 0, ta có y = 0 + 1 = 1 nên O(0; 0) không thuộc đồ thị hàm số y = x + 1.

Với x = -1, ta có y = -1 + 1 = 0 nên điểm C(-1; 0) thuộc đồ thị hàm số \(y = x + 1\).

Hàm số s theo biến t với \(v = 5\) là: \(s = 5t\)

Đồ thị hàm số \(s = 5t\) đi qua 2 điểm O(0; 0) và A(1; 5)

Do đó, đồ thị hàm số \(s = 5t\) là đường thẳng q.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 5) nên \(5 = 2.1 + m\)

\(m = 3\)

Hàm số \(y = \left( {2 - m} \right)x + m\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 2\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4 nên \(x = 4;y = 0\)

Do đó, \(0 = 4\left( {2 - m} \right) + m\)

\(8 - 4m + m = 0\)

\(3m = 8\)

\(m = \frac{8}{3}\) (thỏa mãn)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm

Bước 2: Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai hàm số ta tìm được tung độ giao điểm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(x - 1 = 3 - 4x\)

\(5x = 4\)

\(x = \frac{4}{5}\)

Với \(x = \frac{4}{5}\) thì \(y = \frac{4}{5} - 1 = \frac{{ - 1}}{5}\)

Vậy tung độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\frac{{ - 1}}{5}\)

Với hàm số y = x, cho x = 1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = x đi qua các điểm O(0;0) và C(1;1)

Với hàm số y = x+2, cho x = 0 thì y = 2, cho x = -1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = x +2 đi qua các điểm B(0;2) và A(-1;1)

Với hàm số y = -x, cho x = -1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = -x đi qua các điểm O(0;0) và A(-1;1)

Với hàm số y = -x +2, cho x =0 thì y = 2, cho x = 1 thì y = 1. Đồ thị hàm số y = -x +2 đi qua các điểm B (0;2) và C(1;1)

Đồ thị hàm số:

Từ đồ thị trên ta thấy:

Đường thẳng \(y = x\) song song với đường thẳng \(y = x + 2\) nên OC//AB

Đường thẳng \(y = - x\) song song với đường thẳng \(y = - x + 2\) nên OA//BC

Tứ giá OABC có: OC//AB, OA//BC và \(OB \bot AC\) nên tứ giác OABC là hình thoi

+ Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm

+ Bước 2: Thay hoành độ giao điểm vào phương trình hoành độ giao điểm để tìm m.

Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \(mx + 2 = \frac{1}{2}x + 1\) (1)

Để đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng 4 thì \(x = 4\) thỏa mãn phương trình (*). Do đó, \(4m + 2 = \frac{1}{2}.4 + 1\)

\(4m = 1\)

\(m = \frac{1}{4}\)

Để đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng 4 nên thay \(y = 4\) vào \(y = x + 1\) ta có: \(4 = x + 1\), \(x = 3\)

Do đó, tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\left( {3;4} \right)\)

Thay \(x = 3,y = 4\) vào \(y = \left( {m - 1} \right)x - 1\) ta có:

\(4 = 3\left( {m - 1} \right) - 1\)

\(3m - 3 - 1 = 4\)

\(m = \frac{8}{3}\)

Đường thẳng \({d_1}\) cắt trục hoành tại điểm A nên A có tung độ \(y = 0.\) Do đó, \(0 = - x + 3;x = 3\) nên hoành độ của điểm A là \(x = 3\)

Đường thẳng \({d_2}\) cắt trục hoành tại điểm B nên B có tung độ \(y = 0.\) Do đó, \(0 = 4 - 3x;x = \frac{4}{3}\) nên hoành độ của điểm B là \(x = \frac{4}{3}\)

Do đó, tổng hoành độ giao điểm của A và B là \(\frac{{13}}{3}\)

+ Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A, B

+ Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác AOB vuông tại O: \(S = \frac{{OA.OB}}{2}\)

A là giao điểm của d với trục hoành nên \(0 = - 2x - 4,x = - 2\) nên \(A\left( { - 2;0} \right)\)

B là giao điểm của d với trục tung nên \(y = - 2.0 - 4 = - 4\) nên \(B\left( {0; - 4} \right)\)

Do đó, \(OA = 2,OB = 4\)

Vì tam giác AOB vuông tại O nên diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\) (đvdt)

+ Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.

+ Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào đường thẳng còn lại để tìm m.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(2x + 1 = x - 3\)

\(x = - 4\)

Với \(x = - 4\) vào \(y = x - 3\) ta có: \(y = - 4 - 3 = - 7\)

Do đó, giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\) là M(-4; -7)

Để ba đường thẳng \({d_1}:y = \left( {m - 1} \right)x - 3;{d_2}:y = 2x + 1;{d_3}:y = x - 3\) giao nhau tại một điểm thì M thuộc \({d_1}.\) Do đó,

\( - 7 = - 4\left( {m - 1} \right) - 3\)

\( - 4m + 4 - 3 = - 7\)

\( - 4m = - 8\)

\(m = 2\)

+ Nhận thấy M thuộc \({d_2}\)

Thay tọa độ M vào \(y = mx - 1\) ta có:

\(3 = m.2 - 1\)

\(2m = 4\)

\(m = 2\)

+ Thay y bởi \( - y\) vào hàm số đã cho ta tìm được đường thẳng cần tìm.

Điểm đối xứng với điểm (x; y) qua trục hoành là điểm (x; -y)

Xét hàm số \(y = 2x + 10,\) thay y bởi \( - y\) ta được: \( - y = 2x + 10\) hay \(y = - 2x - 10\)

+ Thay x bởi y, thay y bởi x trong hàm số của đường thẳng đã cho, ta tìm được hàm số của đường thẳng cần tìm.

Điểm đối xứng với điểm (x; y) qua đường thẳng \(y = x\) là \(\left( {y;x} \right)\)

Xét hàm số, \(y = 2x + 4,\) thay x bởi y, thay y bởi x ta có: \(x = 2y + 4\) hay \(y = \frac{1}{2}x - 2\)

Do đó, \({y_0} = f\left( {{x_0};m} \right)\) có nghiệm đúng với mọi m.

Gọi điểm \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định của đường thẳng (1).

Ta có: \({y_0} = m{x_0} + m + 1\)

\({y_0} - m{x_0} - m - 1 = 0\)

\( - \left( {{x_0} + 1} \right)m + {y_0} - 1 = 0\)

Để phương trình luôn đúng với mọi m thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = 1\end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định (-1; 1).

+ Tìm hàm số mà có đồ thị đi qua hai điểm B, C.

+ Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm A thuộc đường thẳng BC, do đó thay tọa độ điểm A vào hàm số đã tìm được để tìm x.

Đường thẳng BC có dạng: \(y = ax + b\)

Vì điểm B(-5; 20) thuộc đường thẳng BC nên \(20 = - 5a + b,\) \(b = 20 + 5a\;\;\left( 1 \right)\)

Vì điểm C(7; -16) thuộc đường thẳng BC nên \( - 16 = 7a + b\;\;\left( 2 \right)\)

Thay (1) vào (2) ta có: \( - 16 = 7a + 20 + 5a\)

\(12a = - 36\)

\(a = - 3\) nên \(b = 20 + 5.\left( { - 3} \right) = 5\)

Do đó đường thẳng BC có dạng: \(y = - 3x + 5\)

Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm A(x; 14) thuộc đường thẳng BC.

Do đó, \(14 = - 3x + 5\)

\( - 3x = 9\)

\(x = - 3\)

Chứng minh dễ dàng được: Đường thẳng phải tìm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên \(\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1.\)

Do đó, \(b = \frac{{3a}}{{a - 4}} = 3 + \frac{{12}}{{a - 4}}\)

Do a là số nguyên tố nên \(a \ge 2,a - 4 \ge - 2\)

Lần lượt cho \(a - 4\) nhận các giá trị \( \pm 2; \pm 1;3;4;6;12\) với chú ý rằng a là số nguyên tố và \(b > 0\), ta tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 15\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 7\end{array} \right.\)

Do đó ta tìm được hai đường thẳng \(\frac{x}{5} + \frac{y}{{15}} = 1\) (hay \(y = - 3x + 15\)) và \(\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1\) (hay \(y = - x + 7\))