Trắc nghiệm Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 Chân trời sáng tạo

Ta có:

\(\begin{array}{l}15{x^3} - 5{x^2} + 10x\\ = \;5x.3{x^2} - \;5x.x + \;5x.2\\ = \;5x({3{x^2} - x + 2}) \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2}\;-xy + x-y\\ = x(x - y) + (x - y)\\ = (x + 1)(x - y)\end{array}\)

Ta dễ dàng nhận thấy \({x^2} + 2x.3 + {3^2}\)

\({x^2} + 6x + 9 = {({x + 3}) ^2}\)

\({2 - 25{x^2} = 0\;}\)\((\sqrt 2 - 5x)(\sqrt 2 + 5x) = 0\)\(\sqrt 2 - 5x = 0\) hoặc \(\sqrt 2 + 5x = 0\)\(x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\) hoặc \(x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{5}\)

Ta có

+) \({\left( {x-1} \right)^3} + 2{\left( {x-1} \right)^2}\)

\(= {\left( {x-1} \right)^2}\left( {x-1} \right) + 2{\left( {x-1} \right)^2}\\ = {\left( {x-1} \right)^2}(x-1 + 2\\ = {\left( {x-1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\)

nên A đúng

+) \( {{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2\left( {x-1} \right)}\)

\({ = \left( {x-1} \right).{{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)}\\ = \left( {x-1} \right)[{\left( {x-1} \right)^2} + 2]\)

 nên B đúng

+) \({{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2{{\left( {x-1} \right)}^2}}\)

\({ = \left( {x-1} \right){{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)\left( {x-1} \right)}\\{ = \left( {x-1} \right)[{{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)]}\\ = \left( {x-1} \right)[{\left( {x-1} \right)^2} + 2x-2]\)

 nên C đúng

+) \({{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2{{\left( {x-1} \right)}^2}}\)

\({ = {{\left( {x-1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}\\ \ne \left( {x-1} \right)\left( {x + 3} \right)\)

nên D sai

Áp dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = ({A - B}) ({A + B}) \) để thực hiện phép tính.

\(\begin{array}{l}{37^2} - {13^2}\\ = ({37 - 13}) ({37 + 13}) \\ = 24.50\\ = 1200\end{array}\)

\({x^2} - 2xy + {y^2}{\rm{ - }}81\; = \;\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 81\) (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)

\( = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}{9^2}\) (áp dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {\rm{ }}{B^2} = {\rm{ }}\left( {A{\rm{ }} - {\rm{ }}B} \right)\left( {A{\rm{ }} + {\rm{ }}B} \right)\))

\( = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right)\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right)\).

\({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}\;\) (nhóm hạng tử)

\( = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}\) (áp dụng hằng đẳng thức)

\( = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\)

Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - 4,5} \right)\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ 4,5}}} \right)\\ = 91.100\\ = 9100\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{30{{\left( {4-2x} \right)}^2}\; + 3x-6 = 30{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = {{30.2}^2}\left( {x-2} \right) + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 120{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 3\left( {x-2} \right)\left( {40\left( {x-2} \right) + 1} \right) = 3\left( {x-2} \right)\left( {40x-79} \right)}\end{array}\)

Nhân tử chung có thể là \(3(x - 2)\).

Vì

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^5} + {x^3} + {x^2}\; + 1}\\{ = {x^3}\left( {{x^2}\; + 1} \right) + {x^2}\; + 1}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\end{array}\)

nên

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x^5}\; + {x^3}\; + {x^2}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}4\left( {x - 5} \right) - {\rm{ 2}}x\left( {{\rm{5 }} - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - {\rm{ 5}}} \right)\; + \;2x\left( {x - {\rm{ 5}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {\rm{ 5}}} \right)\left( {{\rm{4}} + 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\4 + 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 5 - 2 = 3\end{array}\)

+) \({x^2} - 6x + 9 = {x^2} - 2.3x + {3^2} = {(x - 3)^2}\) nên A đúng.

+) \(\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.2.\frac{x}{2}.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)^2}\) nên B sai, C đúng.

+) \(4{x^2} - 4xy + {y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.y + {y^2} = {(2x - y)^2}\) nên D đúng.

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow ({x^3} + 2{x^2}) - (9x - 18) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}(x + 2) - 9(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow ({x^2} - 9)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\\ = 3{x^3} - 2{x^2} - 6{x^2} + 4x - 45x + 30\\ = \left( {3{x^3} - 2{x^2}} \right) - \left( {6{x^2} - 4x} \right) - \left( {45x - 30} \right)\\ = {x^2}(3x - 2) - 2x(3x - 2) - 15(3x - 2)\\ = ({x^2} - 2x - 15)(3x - 2)\\ = ({x^2} + 3x - 5x - 15)(3x - 2)\\ = \left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {5x + 15} \right)} \right](3x - 2)\\ = \left[ {x(x + 3) - 5(x + 3)} \right](3x - 2)\\ = (3x - 2)(x - 5)(x + 3)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {3{x^2} + 3x - 5} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 3x + 5} \right)^2}\\ = (3{x^2} + 3x - 5 - 3{x^2} - 3x - 5)(3{x^2} + 3x - 5 + 3{x^2} + 3x + 5)\\ = - 10(6{x^2} + 6x)\\ = - 10.6x(x + 1)\\ = - 60x(x + 1)\\ = mx(x + 1)\\ \Rightarrow m = - 60 < 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = {x^4} + 3{x^3} - 27x - 81\\ = ({x^4} - 81) + (3{x^3} - 27x)\\ = ({x^2} - 9)({x^2} + 9) + 3x({x^2} - 9)\\ = ({x^2} - 9)({x^2} + 3x + 9)\end{array}\)

Ta có: \({x^2} + 3x + 9 = {x^2} + 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{{27}}{4} \ge \frac{{27}}{4} > 0,\forall x\)

Mà \(\left| x \right| < 3 \Leftrightarrow {x^2} < 9 \Leftrightarrow {x^2} - 9 < 0\)

\( \Rightarrow A = ({x^2} - 9)({x^2} + 3x + 9) < 0\) khi \(\left| x \right| < 3\).

\(\begin{array}{l}B = 5.101,5 - 50.0,15\\ = 5.101,5 - 5.1,5\\ = 5(101,5 - 1,5)\\ = 5.100\\ = 500\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{(3{x^2} + 6x - 18)^2} - {(3{x^2} + 6x)^2}\\ = (3{x^2} + 6x - 18 - 3{x^2} - 6x)(3{x^2} + 6x - 18 + 3{x^2} + 6x)\\ = - 18(6{x^2} + 12x - 18)\\ = - 18.6({x^2} + 2x - 3)\\ = - 108({x^2} + 2x - 3)\\ = - 108({x^2} - x + 3x - 3)\\ = - 108\left[ {x(x - 1) + 3(x - 1)} \right]\\ = - 108(x + 3)(x - 1)\end{array}\)

Khi đó, m = -108; n = 3 \( \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{ - 108}}{3} = - 36\)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{B = {x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}\; + {x^2}\; + 2xy + {y^2}}\\{ = \left( {{x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}} \right) + \left( {{x^2}\; + 2xy + {y^2}} \right)}\\{ = {{\left( {x + y} \right)}^3}\; + {{\left( {x + y} \right)}^2}\; = {{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {x + y + 1} \right)}\end{array}\)

Vì \(x = 20-y\) nên \(x + y = 20\). Thay \(x + y = 20\) vào \(B = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {x + y + 1} \right)\) ta được:

\(B = {\left( {20} \right)^2}\left( {{\rm{20 }} + 1} \right) = 400.21 = 8400\).

Vậy \(B > 8300\) khi \(x = 20-y\).

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2k-1;2k + 1(k \in N*)\)

Theo bài ra ta có:

\({\left( {2k + 1} \right)^{2}}-{\left( {2k-1} \right)^{2}} = 4{k^2} + 4k + 1-4{k^2} + 4k-1 = 8k \vdots 8,\forall k \in \mathbb{N}*\)

\(\begin{array}{l}5{x^2} - 10x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 5({x^2} - 2x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}\;-4{y^2}\;-2x-4y}\\{ = \left( {{x^2}\;-4{y^2}} \right)-\left( {2x + 4y} \right)}\\{ = \left( {x-2y} \right)\left( {x + 2y} \right)-2\left( {x + 2y} \right)}\\{ = \left( {x + 2y} \right)\left( {x-2y-2} \right)}\end{array}\)

Suy ra m = 2, n = -2

\(\begin{array}{l}A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + x-1\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + \left( {x-1} \right)}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3 + 1} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)[{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 1]}\end{array}\end{array}\)

Tại x = 5, ta có:

\(A = \left( {5-1} \right)[{\left( {5-2} \right)^2}\; + 1] = 4.({3^2}\; + 1) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-4{{\left( {x-2} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left[ {2\left( {x-2} \right)} \right]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {2x-5 + 2x-4} \right)\left( {2x-5-2x + 4} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {4x-9} \right).\left( { - 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow - 4x + 9 = 0}\\{ \Leftrightarrow 4x = 9}\\{ \Leftrightarrow x = \;\frac{9}{4}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = {x^6} - {x^4} - x({x^3} - x)\\ = {x^3}.{x^3} - {x^3}.x - x\left( {{x^3} - x} \right)\\ = {x^3}({x^3} - x) - x({x^3} - x)\\ = \left( {{x^3} - x} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\\ = {\left( {{x^3} - x} \right)^2}\end{array}\)

Với \({x^3} - x = 9\), giá trị của biểu thức \(A = {9^2} = 81\)

\(\begin{array}{l}A = {7^{19}} + {7^{20}} + {7^{21}}\\ = {7^{19}} + {7^{19}}.7 + {7^{19}}{.7^2}\\ = {7^{19}}.(1 + 7 + {7^2})\\ = {7^{19}}.57\end{array}\)

Do \({7^{19}} \vdots 7 \Rightarrow {7^{19}}.57 \vdots 7\) (A sai)

Ta có \({7^{19}}\) là số lẻ, 57 là số lẻ nên tích \({7^{19}}.57\) là số lẻ \( \Rightarrow {7^{19}}.57\) không chia hết cho 2. (B sai)

A chia hết cho 57. (C đúng)

A chia hết cho 57 nhưng A không chia hết cho 2 nên A không chia hết cho 57.2 = 114 (D sai)

Sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

\(\left( {2x-5} \right)^2-9{(4{x^2}-25)^2}= 0\)\(4{{\left( {2x-5} \right)}^2}-9{{[{{\left( {2x} \right)}^2}-{5^2}]}^2}= 0\)\(4{{\left( {2x-5} \right)}^2}-9{{\left[ {\left( {2x-5} \right)\left( {2x + 5} \right)} \right]}^2}= 0\)\(4{{\left( {2x-5} \right)}^2}-9{{\left( {{{2x }}-5} \right)}^2}{{\left( {2x + 5} \right)}^2}= 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2[4-9{{\left( {2x + 5} \right)}^2}] = 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2[4-{{\left( {3\left( {2x + 5} \right)} \right)}^2}] = 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2({2^2}-{{\left( {6x + 15} \right)}^2}) = 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2({2^2}-{{\left( {6x + 15} \right)}^2}) = 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2\left( {2 + {{ 6}}x + 15} \right)\left( {2-{{ 6}}x-15} \right) = 0\)\(\left( {2x-5} \right)^2\left( {6x + 17} \right)\left( { - 6x-13} \right) = 0\)Suy ra \(x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 17}}{6}\) hoặc \(x = \frac{{-13}}{6}\)Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{5}{2} - \frac{{17}}{6} + \frac{{-13}}{6} = \frac{{15 - 17 - 13}}{6} = \frac{-5}{2}\)

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = 0\)

\({b^3}\; + {c^3}\; = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2}\; + {c^2}\; - bc} \right)\)\( = \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right]\)\( = {\left( {b + c} \right)^3}\; - 3bc\left( {b + c} \right)\)\( \Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = {a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc\)\( = {a^3}\; + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right)\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - ab\; - ac + {b^2}\; + 2bc + {c^2}\; - 3bc} \right)\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc} \right)\)

Do đó nếu \({a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc = 0\) thì \(a + b + c\; = 0\) hoặc \({a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = 0\)

Mà \({a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2}\; + {{\left( {a - c} \right)}^2}\; + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\)

Nếu \({\left( {a - b} \right)^2}\; + {\left( {a - c} \right)^2}\; + {\left( {b - c} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 0}\\{b - c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = c\)

Vậy \({a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) = 3abc\) thì \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 0\).