Trắc nghiệm Bài 1: Định lí Pythagore Toán 8 Chân trời sáng tạo

Tam giác ABC vuông cân ở A nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà

AB = AC = 2 dm

Nên \(B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8 dm\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta được :

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} \Rightarrow {x^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow x = 5cm\)

Vậy x = 5 cm

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = 26{}^2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 676\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{144}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}} = \frac{{676}}{{169}} = 4\)

Suy ra \({x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10cm\)

\({y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24cm\)

Kẻ \(AH \bot B{{D}}\) tại H.

Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra: HD = AC = 6; AH = CD = 8.

Do đó: BH = BD – HD = 10 – 6 = 4

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {8^2} = 80 \Rightarrow AB = 4\sqrt 5 \)

Vậy \(x = 4\sqrt 5 \)

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\).

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABH\) vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\\ \Rightarrow AH = \sqrt {12} cm\end{array}\)

Vậy \(AH = \sqrt {12} cm\)

+) Với bộ số: 15cm; 8cm; 18cm ta thấy : \({18^2} = 324{,^{}}{15^2} + {8^2} = 289 < 324\) nên loại đáp án A.

+) Với bộ số: 21dm; 20dm; 29dm ta thấy : \({29^2} = 841{;^{}}{21^2} + {20^2} = 841 = {29^2}\) nên đây là ba cạnh của tam giác vuông.

+) Với bộ số: 5m; 6m; 8m ta thấy : \({8^2} = 64{;^{}}{5^2} + {6^2} = 61 < 64\) nên loại đáp án C.

+) Với bộ số: 2m; 3m; 4m ta thấy : \({4^2} = 16{;^{}}{3^2} + {2^2} = 13 < 16\) nên loại đáp án D.

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AC = 4cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. cho tam giác ABC vuông tại B ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 cm\)

Tam giác PQR vuông tại P nên theo định lí Pythagore ta có: \(Q{{{R}}^2} = P{Q^2} + P{{{R}}^2}\) nên câu C đúng.

Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên QR > PQ; QR > PR

Suy ra các câu A, B đúng.

Câu trả lời sai là câu D.

+) Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

+) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {25^2} - {20^2} = 225 \Rightarrow AB = 15cm\)

+) Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

\(H{B^2} + H{A^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AH = 12cm\)

+) Vậy AH = 12cm ; AB = 15cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow BH = 3(cm)\end{array}\)

Suy ra: \(BC = HB + HC = 3 + \sqrt {184} \)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {\left( {\sqrt {184} } \right)^2} = 200 \Rightarrow AC = \sqrt {200} \)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = 5 + \sqrt {200} + 3 + \sqrt {184} \approx 35,7cm\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {y > x > 0} \right)\) (cm) và độ dài cạnh huyền là \(z\left( {z > y} \right)\)(cm)

Theo đề bài ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y + z = 36

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow x = 3k;y = 4k\)

Theo định lý Pythagore ta có: \({x^2} + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {z^2} = {\left( {3k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} = 25{k^2} = {\left( {5k} \right)^2} \Rightarrow z = 5k\)

Suy ra \(x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k = 36 \Rightarrow k = 3\) (thỏa mãn)

Từ đó: \(x{{ }} = {{ }}9{{ }}cm;{{ }}y{{ }} = {{ }}12{{ }}cm;{{ }}z{{ }} = {{ }}15cm.\)

Vậy cạnh huyền dài 15 cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào Tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {9^2} - {3^2} = 72\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào tam giác ACH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {11^2} - 72 = 49\\ \Rightarrow x = HC = \sqrt {49} = 7\end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ACB} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Lại có BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gỉa thiết) nên : \(\widehat {AB{{D}}} = \widehat {DBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\).

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ACB} = {30^o}\) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\) hay BC = 2 AB.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{A}}B} \right)^2} = A{B^2} + {3^2}\\ \Rightarrow 4{{A}}B = A{B^2} + 9\\ \Rightarrow 3{{A}}{B^2} = 9\\ \Rightarrow A{B^2} = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat {AB{{D}}} = {30^o}\) nên \(A{{D}} = \frac{1}{2}B{{D}}\) hay BD = 2AD.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{{{D}}^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{AD}}} \right)^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2}\\ \Rightarrow 4{{{x}}^2} = 3 + {x^2}\\ \Rightarrow 3{{{x}}^2} = 3\\ \Rightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có DE // HK nên: \(\widehat {E{{D}}H} = \widehat {DHK} = {90^o}\) (so le trong)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông DHK ta được:

\(D{K^2} = D{H^2} + H{K^2}\)

\(D{K^2} = {8^2} + {\left( {\sqrt {17} } \right)^2}\)

\(D{K^2} = 64 + 17 = 81 = {9^2}\\DK = 9\)

+ Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

+ Trong tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của đường cao nhân với cạnh huyền.

\(B{C^2} = {\left( {7,5} \right)^2} = 56,25\)

\(A{C^2} + A{B^2} = {\left( {4,5} \right)^2} + {6^2} = 56,25\)

Ta thấy: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta lại có: \(AB.AC = AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.4,5}}{{7,5}} = 3,6(cm)\)

Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} = {17^2} - {15^2} = 64 = {8^2} \)

nên \(A{\rm{D}} = 8(cm)\)

Suy ra \( C{\rm{D}} = AC - A{\rm{D}} = 17 - 8 = 9(cm)\)

Tam giác BCD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - B{{\rm{D}}^2} = {9^2} + {15^2} = 81 + 225 = 306\end{array}\)

nên \(BC = 3\sqrt {34} (cm)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}(1)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + C{H^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{B^2} - B{H^2} = A{C^2} - C{H^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} - {18^2} = {x^2} - {32^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - {32^2} + {18^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 1024 + 324\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 700\end{array}\)

Ta có: BC = BH + CH = 18 + 32 = 50

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + {x^2} = {50^2}(3)\end{array}\)

Thay \(A{B^2} = {x^2} - 700\) vào (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 700 + {{\rm{x}}^2} = {50^2}\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 2500 + 700\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 3200\\ \Rightarrow {x^2} = 3200:2 = 1600\\ \Rightarrow x = \sqrt {1600} = 40\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow AB = {6^2} + 4,{5^2} = 36 + \frac{{81}}{4} = \frac{{225}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\end{array}\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 4,5 + 8 = \frac{{25}}{2}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} = \frac{{625}}{4}(1)\)

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = \frac{{225}}{4} + 100 = \frac{{625}}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\). Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\)

Ta có: \(S = \frac{1}{2}.4,8.a = \frac{1}{6}.6.b = \frac{1}{2}.8.c\) hay \(4,8{\rm{a}} = 6b = 8c = 2{\rm{S}}\)

Do đó: \(a = \frac{{2{\rm{S}}}}{{4,8}} = \frac{{5{\rm{S}}}}{{12}};b = \frac{{2{\rm{S}}}}{6} = \frac{S}{3};c = \frac{{2{\rm{S}}}}{8} = \frac{S}{4}\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}};{a^2} = {\left( {\frac{{5{\rm{S}}}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}}\)

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là 4,8cm

Tam giác ABC vuông cân ở A nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà

AB = AC = 2 dm

Nên \(B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8 dm\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta được :

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} \Rightarrow {x^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow x = 5cm\)

Vậy x = 5 cm

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = 26{}^2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 676\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{144}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}} = \frac{{676}}{{169}} = 4\)

Suy ra \({x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10cm\)

\({y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24cm\)

Kẻ \(AH \bot B{{D}}\) tại H.

Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra: HD = AC = 6; AH = CD = 8.

Do đó: BH = BD – HD = 10 – 6 = 4

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {8^2} = 80 \Rightarrow AB = 4\sqrt 5 \)

Vậy \(x = 4\sqrt 5 \)

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\).

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABH\) vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\\ \Rightarrow AH = \sqrt {12} cm\end{array}\)

Vậy \(AH = \sqrt {12} cm\)

+) Với bộ số: 15cm; 8cm; 18cm ta thấy : \({18^2} = 324{,^{}}{15^2} + {8^2} = 289 < 324\) nên loại đáp án A.

+) Với bộ số: 21dm; 20dm; 29dm ta thấy : \({29^2} = 841{;^{}}{21^2} + {20^2} = 841 = {29^2}\) nên đây là ba cạnh của tam giác vuông.

+) Với bộ số: 5m; 6m; 8m ta thấy : \({8^2} = 64{;^{}}{5^2} + {6^2} = 61 < 64\) nên loại đáp án C.

+) Với bộ số: 2m; 3m; 4m ta thấy : \({4^2} = 16{;^{}}{3^2} + {2^2} = 13 < 16\) nên loại đáp án D.

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AC = 4cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. cho tam giác ABC vuông tại B ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 cm\)

Tam giác PQR vuông tại P nên theo định lí Pythagore ta có: \(Q{{{R}}^2} = P{Q^2} + P{{{R}}^2}\) nên câu C đúng.

Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên QR > PQ; QR > PR

Suy ra các câu A, B đúng.

Câu trả lời sai là câu D.

+) Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

+) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {25^2} - {20^2} = 225 \Rightarrow AB = 15cm\)

+) Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

\(H{B^2} + H{A^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AH = 12cm\)

+) Vậy AH = 12cm ; AB = 15cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow BH = 3(cm)\end{array}\)

Suy ra: \(BC = HB + HC = 3 + \sqrt {184} \)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {\left( {\sqrt {184} } \right)^2} = 200 \Rightarrow AC = \sqrt {200} \)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = 5 + \sqrt {200} + 3 + \sqrt {184} \approx 35,7cm\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {y > x > 0} \right)\) (cm) và độ dài cạnh huyền là \(z\left( {z > y} \right)\)(cm)

Theo đề bài ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y + z = 36

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow x = 3k;y = 4k\)

Theo định lý Pythagore ta có: \({x^2} + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {z^2} = {\left( {3k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} = 25{k^2} = {\left( {5k} \right)^2} \Rightarrow z = 5k\)

Suy ra \(x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k = 36 \Rightarrow k = 3\) (thỏa mãn)

Từ đó: \(x{{ }} = {{ }}9{{ }}cm;{{ }}y{{ }} = {{ }}12{{ }}cm;{{ }}z{{ }} = {{ }}15cm.\)

Vậy cạnh huyền dài 15 cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào Tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {9^2} - {3^2} = 72\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào tam giác ACH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {11^2} - 72 = 49\\ \Rightarrow x = HC = \sqrt {49} = 7\end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ACB} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Lại có BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gỉa thiết) nên : \(\widehat {AB{{D}}} = \widehat {DBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\).

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ACB} = {30^o}\) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\) hay BC = 2 AB.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{A}}B} \right)^2} = A{B^2} + {3^2}\\ \Rightarrow 4{{A}}B = A{B^2} + 9\\ \Rightarrow 3{{A}}{B^2} = 9\\ \Rightarrow A{B^2} = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat {AB{{D}}} = {30^o}\) nên \(A{{D}} = \frac{1}{2}B{{D}}\) hay BD = 2AD.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{{{D}}^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{AD}}} \right)^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2}\\ \Rightarrow 4{{{x}}^2} = 3 + {x^2}\\ \Rightarrow 3{{{x}}^2} = 3\\ \Rightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có DE // HK nên: \(\widehat {E{{D}}H} = \widehat {DHK} = {90^o}\) (so le trong)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông DHK ta được:

\(D{K^2} = D{H^2} + H{K^2}\)

\(D{K^2} = {8^2} + {\left( {\sqrt {17} } \right)^2}\)

\(D{K^2} = 64 + 17 = 81 = {9^2}\\DK = 9\)

+ Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

+ Trong tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của đường cao nhân với cạnh huyền.

\(B{C^2} = {\left( {7,5} \right)^2} = 56,25\)

\(A{C^2} + A{B^2} = {\left( {4,5} \right)^2} + {6^2} = 56,25\)

Ta thấy: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta lại có: \(AB.AC = AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.4,5}}{{7,5}} = 3,6(cm)\)

Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} = {17^2} - {15^2} = 64 = {8^2} \)

nên \(A{\rm{D}} = 8(cm)\)

Suy ra \( C{\rm{D}} = AC - A{\rm{D}} = 17 - 8 = 9(cm)\)

Tam giác BCD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - B{{\rm{D}}^2} = {9^2} + {15^2} = 81 + 225 = 306\end{array}\)

nên \(BC = 3\sqrt {34} (cm)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}(1)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + C{H^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{B^2} - B{H^2} = A{C^2} - C{H^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} - {18^2} = {x^2} - {32^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - {32^2} + {18^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 1024 + 324\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 700\end{array}\)

Ta có: BC = BH + CH = 18 + 32 = 50

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + {x^2} = {50^2}(3)\end{array}\)

Thay \(A{B^2} = {x^2} - 700\) vào (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 700 + {{\rm{x}}^2} = {50^2}\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 2500 + 700\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 3200\\ \Rightarrow {x^2} = 3200:2 = 1600\\ \Rightarrow x = \sqrt {1600} = 40\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow AB = {6^2} + 4,{5^2} = 36 + \frac{{81}}{4} = \frac{{225}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\end{array}\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 4,5 + 8 = \frac{{25}}{2}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} = \frac{{625}}{4}(1)\)

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = \frac{{225}}{4} + 100 = \frac{{625}}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\). Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\)

Ta có: \(S = \frac{1}{2}.4,8.a = \frac{1}{6}.6.b = \frac{1}{2}.8.c\) hay \(4,8{\rm{a}} = 6b = 8c = 2{\rm{S}}\)

Do đó: \(a = \frac{{2{\rm{S}}}}{{4,8}} = \frac{{5{\rm{S}}}}{{12}};b = \frac{{2{\rm{S}}}}{6} = \frac{S}{3};c = \frac{{2{\rm{S}}}}{8} = \frac{S}{4}\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}};{a^2} = {\left( {\frac{{5{\rm{S}}}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}}\)

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là 4,8cm