Trắc nghiệm Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn Toán 8 Chân trời sáng tạo

\(2{x^2} + 1 = x - 2\) là phương trình một ẩn (ẩn x)

Lưu ý: Đề bài chỉ hỏi phương trình một ẩn.

\(3x - 6 = 0\)

\(3x = 0 + 6\)

\(3x = 6\)

\(x = \frac{6}{3} \)

\(x = 2\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\)

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{5}x = 0\)

\(\frac{2}{5}x = \frac{{ - 3}}{4}\)

\(x = \frac{{ - 3}}{4}:\frac{2}{5} = \frac{{ - 15}}{8}\)

Do đó, \(a = 15,b = 8\)

Vậy \(a + b = 15 + 8 = 23\)

Với \(C = {20^o}C\) ta có:

\(20 = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\)

\(F - 32 = 20 : \frac{5}{9}\)

\(F - 32 = 36\)

\(F = 36 + 32 = 68\)

Vậy \(C = {20^o}C\) thì ứng với 68 ^oF

\(4x - 8 = 0\)

\(4x = 8\)

\(x = \frac{8}{4} = 2\)

Với \(x = 2\) thay vào biểu thức \(5{x^2} - 4\) ta có: \({5.2^2} - 4 = 16\)

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} + 4 > 0\) với mọi x.

Do đó, phương trình \({x^2} + 4 = 0\) vô nghiệm.

Theo đề bài ta có: \(\left( {x - \frac{1}{4}} \right).\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{1}{4} = \frac{1}{8}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\)

\(3\left( {x - 5} \right) + 9x\left( {x - 3} \right) = 9{x^2}\)

\(3x - 15 + 9{x^2} - 27x = 9{x^2}\)

\( - 24x = 15\)

\(x = \frac{{ - 5}}{8}\)

Khi đó, nghiệm của phương là \({x_0} = \frac{{ - 5}}{8}\)

Do đó, \({x_0} < 0\)

Vì \(A = B\) nên \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} - \frac{1}{2} = \frac{{1 + 3x}}{4}\)

\(\frac{{8\left( {x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{6}{{12}} = \frac{{3\left( {1 + 3x} \right)}}{{12}}\)

\(8x + 8 - 6 = 3 + 9x\)

\(9x - 8x = 2 - 3\)

\(x = - 1\)

\(8\left( {x - 2} \right) = 14 + 6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + 5} \right)\,\)

\(8x - 16 = 14 + 6x - 6 + 2x + 10\)

\(8x - 6x - 2x = 18 + 16\)

\(0 = 34\) (vô lí)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

\({\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} - 2x - 2\left( {x - 2} \right)\)

\({x^2} - 4x + 4 = {x^2} - 2x - 2x + 4\)

\({x^2} - 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = 0\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình (2) có vô số nghiệm.

\(\frac{{x - 11}}{{2011}} + \frac{{x - 10}}{{2012}} = \frac{{x - 74}}{{1948}} + \frac{{x - 72}}{{1950}}\)

\(\left( {\frac{{x - 11}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 10}}{{2012}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 74}}{{1948}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 72}}{{1950}} - 1} \right)\)

\(\frac{{x - 2022}}{{2011}} + \frac{{x - 2022}}{{2012}} - \frac{{x - 2022}}{{1948}} - \frac{{x - 2022}}{{1950}} = 0\)

\(\left( {x - 2022} \right)\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{1948}} - \frac{1}{{1950}}} \right) = 0\)

\(x - 2022 = 0\) (vì \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{1948}} - \frac{1}{{1950}} < 0\))

\(x = 2022\)

Vì 2022 chia hết cho 2, không chia hết cho 4, không chia hết cho 5 nên nghiệm của phương trình là một số chia hết cho 2

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình dạng \(ax + b = 0\), với a, b là hai số đã cho và \(a \ne 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

\(3mx + m - 4x = 3{m^2} + 1\)

\(\left( {3m - 4} \right)x + m - 3{m^2} - 1 = 0\)

Để phương trình \(\left( {3m - 4} \right)x + m - 3{m^2} - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì \(3m - 4 \ne 0\)

\(3m \ne 4\)

\(m \ne \frac{4}{3}\)

Vậy \(m \ne \frac{4}{3}\)

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng chu vi hình tam giác: Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác

+ Sử dụng chu vi hình chữ nhật: Chu vi hình tam giác bằng hai lần tổng chiều dài và chiều rộng

Chu vi hình tam giác là: \(x + 2 + x + 4 + x + 5 = 3x + 11\)

Chu vi hình chữ nhật là: \(2\left( {x + 1 + x + 4} \right) = 2\left( {2x + 5} \right) = 4x + 10\)

Vì hai hình có chu vi bằng nhau nên: \(3x + 11 = 4x + 10\)

\(4x - 3x = 11 - 10\)

\(x = 1\)

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng khái niệm nghiệm của phương trình: Số \({x_0}\)được gọi là nghiệm của phương trình \(A\left( x \right) = B\left( x \right)\)nếu giá trị của A(x) và B(x) tại \({x_0}\)bằng nhau.

\(\frac{{7x}}{8} - 5\left( {x - 9} \right) = \frac{1}{6}\left( {20x + 1,5} \right)\)

\(\frac{{21x}}{{24}} - \frac{{120\left( {x - 9} \right)}}{{24}} = \frac{{4\left( {20x + 1,5} \right)}}{{24}}\)

\(21x - 120x + 1080 = 80x + 6\)

\( - 179x = - 1074\)

\(x = 6\)

Vì phương trình (2) có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1) nên phương trình (2) có nghiệm là \(x = 2\)

\(2\left( {a - 1} \right)x - a\left( {x - 1} \right) = 2a + 3\;\left( 2 \right)\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (2) ta có:

\(2\left( {a - 1} \right)2 - a\left( {2 - 1} \right) = 2a + 3\)

\(4a - 4 - a = 2a + 3\)

\(a = 7\)

\(\frac{{x + 1}}{3} + \frac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4} = \frac{{2x + 3\left( {x + 1} \right)}}{6} + \frac{{7 + 12x}}{{12}}\)

\(\frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \frac{{9\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{2\left( {5x + 3} \right)}}{{12}} + \frac{{7 + 12x}}{{12}}\)

\(4x + 4 + 18x + 9 = 10x + 6 + 7 + 12x\)

\(22x + 13 = 22x + 13\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm

Hình bên có gồm hai hình chữ nhật:

+ Hình chữ nhật độ dài 2 kích thước là 12m và x (mét) nên diện tích hình là: \(12x\left( {{m^2}} \right)\)

+ Hình chữ nhật có độ dài 2 kích thước là 6m và 4m nên diện tích hình là: \(4.6 = 24\left( {{m^2}} \right)\)

Mà diện tích của cả hình đó bằng \(168{m^2}\) nên ta có:

\(12x + 24 = 168\)

\(12x = 144\)

\(x = 12\)

Vậy \(x = 12m\)

Giả sử ô tô gặp xe máy tại C như trên hình.

Gọi x (giờ) (x > 0) là khoảng thời gian chuyển động của ôtô đi từ A đến C.

Ô tô đi với vận tốc 48km/h nên quãng đường AC bằng: 48.x (km) (1)

Vì xe máy đi trước ôtô 1 giờ nên thời gian xe máy đi từ A đến C bằng: x + 1 (h)

Xe máy đi với vận tốc 32km/h nên quãng đường AC bằng: 32(x + 1) (km) (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình: 48x = 32(x + 1).

Vậy phương trình là: 48x = 32(x + 1).

\(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2\left( * \right)\)

Xét \({m^2} - 3m + 2 = 0\)

\({m^2} - m - 2m + 2 = 0\)

\(\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

Từ đó tính được \(m = 1;m = 2\)

Với \(m = 1\) thay vào (*) ta có: \(0.x = - 1\) (vô lí) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Với \(m = 2\) thay vào (*) ta có: \(0x = 0\) (luôn đúng) nên phương trình (*) có vô số nghiệm với mọi số thực x.

Khi \(x = 0\) ta có: \(1 = 0\) (vô lí) nên \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho

Khi \(x < 0\) thì \(\sqrt x \) không xác định

Khi \(x > 0\) thì \(\sqrt { - x} \) không xác định

Vậy trong mọi trường hợp, không có giá trị nào thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Khi xuất phát từ mặt đài phun nước, giọt nước có \(t = 0.\)

Khi giọt nước đạt độ cao tối đa thì \(v = 0.\) Thay vào công thức ta có:

\(0 = 48 - 30t\)

\(30t = 48\)

\(t = 1,6\)

Vậy thời gian để giọt nước đi từ mặt đài phun nước đến khi đạt độ cao tối đa là: \(1,6 - 0 = 1,6\) (s)

\(2{x^2} + 1 = x - 2\) là phương trình một ẩn (ẩn x)

Lưu ý: Đề bài chỉ hỏi phương trình một ẩn.

\(3x - 6 = 0\)

\(3x = 0 + 6\)

\(3x = 6\)

\(x = \frac{6}{3} \)

\(x = 2\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\)

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{5}x = 0\)

\(\frac{2}{5}x = \frac{{ - 3}}{4}\)

\(x = \frac{{ - 3}}{4}:\frac{2}{5} = \frac{{ - 15}}{8}\)

Do đó, \(a = 15,b = 8\)

Vậy \(a + b = 15 + 8 = 23\)

Với \(C = {20^o}C\) ta có:

\(20 = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\)

\(F - 32 = 20 : \frac{5}{9}\)

\(F - 32 = 36\)

\(F = 36 + 32 = 68\)

Vậy \(C = {20^o}C\) thì ứng với 68 ^oF

\(4x - 8 = 0\)

\(4x = 8\)

\(x = \frac{8}{4} = 2\)

Với \(x = 2\) thay vào biểu thức \(5{x^2} - 4\) ta có: \({5.2^2} - 4 = 16\)

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} + 4 > 0\) với mọi x.

Do đó, phương trình \({x^2} + 4 = 0\) vô nghiệm.

Theo đề bài ta có: \(\left( {x - \frac{1}{4}} \right).\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{1}{4} = \frac{1}{8}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\)

\(3\left( {x - 5} \right) + 9x\left( {x - 3} \right) = 9{x^2}\)

\(3x - 15 + 9{x^2} - 27x = 9{x^2}\)

\( - 24x = 15\)

\(x = \frac{{ - 5}}{8}\)

Khi đó, nghiệm của phương là \({x_0} = \frac{{ - 5}}{8}\)

Do đó, \({x_0} < 0\)

Vì \(A = B\) nên \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} - \frac{1}{2} = \frac{{1 + 3x}}{4}\)

\(\frac{{8\left( {x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{6}{{12}} = \frac{{3\left( {1 + 3x} \right)}}{{12}}\)

\(8x + 8 - 6 = 3 + 9x\)

\(9x - 8x = 2 - 3\)

\(x = - 1\)

\(8\left( {x - 2} \right) = 14 + 6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + 5} \right)\,\)

\(8x - 16 = 14 + 6x - 6 + 2x + 10\)

\(8x - 6x - 2x = 18 + 16\)

\(0 = 34\) (vô lí)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

\({\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} - 2x - 2\left( {x - 2} \right)\)

\({x^2} - 4x + 4 = {x^2} - 2x - 2x + 4\)

\({x^2} - 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = 0\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình (2) có vô số nghiệm.

\(\frac{{x - 11}}{{2011}} + \frac{{x - 10}}{{2012}} = \frac{{x - 74}}{{1948}} + \frac{{x - 72}}{{1950}}\)

\(\left( {\frac{{x - 11}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 10}}{{2012}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 74}}{{1948}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 72}}{{1950}} - 1} \right)\)

\(\frac{{x - 2022}}{{2011}} + \frac{{x - 2022}}{{2012}} - \frac{{x - 2022}}{{1948}} - \frac{{x - 2022}}{{1950}} = 0\)

\(\left( {x - 2022} \right)\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{1948}} - \frac{1}{{1950}}} \right) = 0\)

\(x - 2022 = 0\) (vì \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{1948}} - \frac{1}{{1950}} < 0\))

\(x = 2022\)

Vì 2022 chia hết cho 2, không chia hết cho 4, không chia hết cho 5 nên nghiệm của phương trình là một số chia hết cho 2

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình dạng \(ax + b = 0\), với a, b là hai số đã cho và \(a \ne 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

\(3mx + m - 4x = 3{m^2} + 1\)

\(\left( {3m - 4} \right)x + m - 3{m^2} - 1 = 0\)

Để phương trình \(\left( {3m - 4} \right)x + m - 3{m^2} - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì \(3m - 4 \ne 0\)

\(3m \ne 4\)

\(m \ne \frac{4}{3}\)

Vậy \(m \ne \frac{4}{3}\)

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng chu vi hình tam giác: Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác

+ Sử dụng chu vi hình chữ nhật: Chu vi hình tam giác bằng hai lần tổng chiều dài và chiều rộng

Chu vi hình tam giác là: \(x + 2 + x + 4 + x + 5 = 3x + 11\)

Chu vi hình chữ nhật là: \(2\left( {x + 1 + x + 4} \right) = 2\left( {2x + 5} \right) = 4x + 10\)

Vì hai hình có chu vi bằng nhau nên: \(3x + 11 = 4x + 10\)

\(4x - 3x = 11 - 10\)

\(x = 1\)

+ Sử dụng cách giải phương trình đưa về dạng \(ax + b = 0\).

+ Sử dụng khái niệm nghiệm của phương trình: Số \({x_0}\)được gọi là nghiệm của phương trình \(A\left( x \right) = B\left( x \right)\)nếu giá trị của A(x) và B(x) tại \({x_0}\)bằng nhau.

\(\frac{{7x}}{8} - 5\left( {x - 9} \right) = \frac{1}{6}\left( {20x + 1,5} \right)\)

\(\frac{{21x}}{{24}} - \frac{{120\left( {x - 9} \right)}}{{24}} = \frac{{4\left( {20x + 1,5} \right)}}{{24}}\)

\(21x - 120x + 1080 = 80x + 6\)

\( - 179x = - 1074\)

\(x = 6\)

Vì phương trình (2) có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1) nên phương trình (2) có nghiệm là \(x = 2\)

\(2\left( {a - 1} \right)x - a\left( {x - 1} \right) = 2a + 3\;\left( 2 \right)\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (2) ta có:

\(2\left( {a - 1} \right)2 - a\left( {2 - 1} \right) = 2a + 3\)

\(4a - 4 - a = 2a + 3\)

\(a = 7\)

\(\frac{{x + 1}}{3} + \frac{{3\left( {2x + 1} \right)}}{4} = \frac{{2x + 3\left( {x + 1} \right)}}{6} + \frac{{7 + 12x}}{{12}}\)

\(\frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \frac{{9\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{2\left( {5x + 3} \right)}}{{12}} + \frac{{7 + 12x}}{{12}}\)

\(4x + 4 + 18x + 9 = 10x + 6 + 7 + 12x\)

\(22x + 13 = 22x + 13\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm

Hình bên có gồm hai hình chữ nhật:

+ Hình chữ nhật độ dài 2 kích thước là 12m và x (mét) nên diện tích hình là: \(12x\left( {{m^2}} \right)\)

+ Hình chữ nhật có độ dài 2 kích thước là 6m và 4m nên diện tích hình là: \(4.6 = 24\left( {{m^2}} \right)\)

Mà diện tích của cả hình đó bằng \(168{m^2}\) nên ta có:

\(12x + 24 = 168\)

\(12x = 144\)

\(x = 12\)

Vậy \(x = 12m\)

Giả sử ô tô gặp xe máy tại C như trên hình.

Gọi x (giờ) (x > 0) là khoảng thời gian chuyển động của ôtô đi từ A đến C.

Ô tô đi với vận tốc 48km/h nên quãng đường AC bằng: 48.x (km) (1)

Vì xe máy đi trước ôtô 1 giờ nên thời gian xe máy đi từ A đến C bằng: x + 1 (h)

Xe máy đi với vận tốc 32km/h nên quãng đường AC bằng: 32(x + 1) (km) (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình: 48x = 32(x + 1).

Vậy phương trình là: 48x = 32(x + 1).

\(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2\left( * \right)\)

Xét \({m^2} - 3m + 2 = 0\)

\({m^2} - m - 2m + 2 = 0\)

\(\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

Từ đó tính được \(m = 1;m = 2\)

Với \(m = 1\) thay vào (*) ta có: \(0.x = - 1\) (vô lí) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Với \(m = 2\) thay vào (*) ta có: \(0x = 0\) (luôn đúng) nên phương trình (*) có vô số nghiệm với mọi số thực x.

Khi \(x = 0\) ta có: \(1 = 0\) (vô lí) nên \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho

Khi \(x < 0\) thì \(\sqrt x \) không xác định

Khi \(x > 0\) thì \(\sqrt { - x} \) không xác định

Vậy trong mọi trường hợp, không có giá trị nào thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Khi xuất phát từ mặt đài phun nước, giọt nước có \(t = 0.\)

Khi giọt nước đạt độ cao tối đa thì \(v = 0.\) Thay vào công thức ta có:

\(0 = 48 - 30t\)

\(30t = 48\)

\(t = 1,6\)

Vậy thời gian để giọt nước đi từ mặt đài phun nước đến khi đạt độ cao tối đa là: \(1,6 - 0 = 1,6\) (s)