Bài 1. Phép dời hình

Bài 1. Phép dời hình - Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều

I. Định nghĩa phép dời hình

Trong mặt phẳng, một phép dời hình là một sự biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B có khoảng cách AB, thì ảnh của chúng qua phép dời hình, A' và B', cũng có khoảng cách A'B' bằng AB.

Định nghĩa chính thức: Phép dời hình là một song ánh f: (P) -> (P) sao cho với mọi A, B thuộc (P), ta có f(A, B) = f(A', B').

II. Tính chất của phép dời hình

• Bảo toàn khoảng cách: Như đã đề cập ở trên, phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc: Phép dời hình bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Bảo toàn hình dạng: Phép dời hình bảo toàn hình dạng của các hình.

III. Các loại phép dời hình cơ bản

1. Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v.

Công thức: x' = x + vx; y' = y + vy, với v = (vx, vy)

2. Phép quay

Phép quay quanh điểm O với góc α là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM' = xOM + α.

Công thức: (Sử dụng ma trận quay hoặc công thức lượng giác để biểu diễn tọa độ M' theo tọa độ M, O và góc α)

3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

Công thức: (Sử dụng công thức tìm điểm đối xứng của M qua trục d)

4. Phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

Công thức: x' = 2Ox - x; y' = 2Oy - y, với O(Ox, Oy)

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và vectơ v = (3, -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Giải: x' = 1 + 3 = 4; y' = 2 - 1 = 1. Vậy A'(4, 1).

Ví dụ 2: Cho điểm B(2, 3) và phép quay quanh gốc tọa độ O với góc 90 độ. Tìm tọa độ điểm B'.

Giải: (Sử dụng công thức ma trận quay hoặc công thức lượng giác để tính toán)

V. Ứng dụng của phép dời hình

Phép dời hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Thiết kế hình học: Tạo ra các hình ảnh đối xứng, lặp lại.
• Robot học: Điều khiển chuyển động của robot.
• Đồ họa máy tính: Biến đổi hình ảnh trong không gian.

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép dời hình, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

Bài tập gợi ý:

1. Tìm ảnh của điểm M(x, y) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (a, b).
2. Tìm ảnh của điểm N(x, y) qua phép quay quanh gốc tọa độ O với góc α.
3. Xác định tâm đối xứng của một hình cho trước.

Chúc bạn học tập tốt và thành công với môn Toán!