THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trong Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều, bao gồm các bài tập trang 17, 18, 19 và 20. Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, Montoan cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập hiệu quả nhất.
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
Ta có tam giác ABC đều có O là trọng tâm nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 120^\circ \) và \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OC\). Vì phép quay với góc quay – 120° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay – 120° lần lượt là các điểm C, A, B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép quay bằng cách:
Phép quay tâm O, góc 900: Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\)
Từ đó xác định ảnh của (C)
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của I qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°. Suy ra I'(– 3; 4).
Vậy ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là đường tròn (C') có tâm I'(– 3; 4), bán kính R' = 2.
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Phương pháp giải:
- Nếu tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.
Kí hiệu: (Oa, Ob).
- Xác định điểm M' thỏa mãn điều kiện: OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90°
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Nối O với M;
- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM, trên đường thẳng, lấy điểm M' theo chiều dương sao cho OM' = OM.
Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
a) Các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay 90° được xác định như hình vẽ trên.
b) Nhận thấy ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A' và C'.
Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.
a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?
b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
Xét 2 tam giác OM'N' và OMN bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Từ đó so sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Lời giải chi tiết:
a) Vì M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \) nên \(OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OM',{\rm{ }}ON{\rm{ }} = {\rm{ }}ON'.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {MON} + \widehat {NOM'} = \widehat {MOM'} = \varphi \\\widehat {NOM'} + \widehat {M'ON'} = \widehat {NON'} = \varphi \end{array}\)
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\)
Xét hai tam giác OM'N' và OMN ta có:
OM = OM' (cmt)
\(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\) cmt)
ON = ON' (cmt)
Do đó, hai tam giác OM'N' và OMN bằng nhau (c – g – c).
b) Từ \(\Delta OM'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OMN\), suy ra M'N' = MN (hai cạnh tương ứng).
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Phương pháp giải:
- Nếu tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.
Kí hiệu: (Oa, Ob).
- Xác định điểm M' thỏa mãn điều kiện: OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90°
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Nối O với M;
- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM, trên đường thẳng, lấy điểm M' theo chiều dương sao cho OM' = OM.
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
Ta có tam giác ABC đều có O là trọng tâm nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 120^\circ \) và \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OC\). Vì phép quay với góc quay – 120° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay – 120° lần lượt là các điểm C, A, B.
Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.
a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?
b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
Xét 2 tam giác OM'N' và OMN bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Từ đó so sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Lời giải chi tiết:
a) Vì M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \) nên \(OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OM',{\rm{ }}ON{\rm{ }} = {\rm{ }}ON'.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {MON} + \widehat {NOM'} = \widehat {MOM'} = \varphi \\\widehat {NOM'} + \widehat {M'ON'} = \widehat {NON'} = \varphi \end{array}\)
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\)
Xét hai tam giác OM'N' và OMN ta có:
OM = OM' (cmt)
\(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\) cmt)
ON = ON' (cmt)
Do đó, hai tam giác OM'N' và OMN bằng nhau (c – g – c).
b) Từ \(\Delta OM'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OMN\), suy ra M'N' = MN (hai cạnh tương ứng).
Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
a) Các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay 90° được xác định như hình vẽ trên.
b) Nhận thấy ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A' và C'.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép quay bằng cách:
Phép quay tâm O, góc 900: Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\)
Từ đó xác định ảnh của (C)
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của I qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°. Suy ra I'(– 3; 4).
Vậy ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là đường tròn (C') có tâm I'(– 3; 4), bán kính R' = 2.
Mục 5 của Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng áp dụng chúng vào giải bài tập. Việc hiểu rõ bản chất của đạo hàm lượng giác không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán học.
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm lượng giác, học sinh cần:
a) y = sin(2x)
Giải: Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có: y' = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)
b) y = cos(x^2)
Giải: Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có: y' = -sin(x^2) * 2x = -2xsin(x^2)
Giải: Ta có: y' = sec^2(x) - csc^2(x)
Giải: Sử dụng quy tắc nhân, ta có: y' = cos(x) * cos(x) + sin(x) * (-sin(x)) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)
Giải: Sử dụng quy tắc nhân, ta có: y' = 2x * tan(x) + x^2 * sec^2(x)
Giải: Sử dụng quy tắc chia, ta có: y' = (cos(x) * x - sin(x) * 1) / x^2 = (xcos(x) - sin(x)) / x^2
Giải: Sử dụng quy tắc chia, ta có: y' = (1 * cos(x) - (x + 1) * (-sin(x))) / cos^2(x) = (cos(x) + (x + 1)sin(x)) / cos^2(x)
Giải: Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có: y' = 2sin(x) * cos(x) = sin(2x)
Giải: Sử dụng quy tắc hàm hợp, ta có: y' = 3cos^2(x) * (-sin(x)) = -3cos^2(x)sin(x)
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về đạo hàm của hàm số lượng giác và áp dụng chúng vào giải các bài tập một cách hiệu quả. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các bạn trên con đường chinh phục tri thức!
