THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, Montoan cam kết mang đến cho học sinh những bài giải chính xác, đầy đủ và phù hợp với chương trình học.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Các bài tập trên trang 26 thường xoay quanh việc xác định số hạng tổng quát của dãy số, tính tổng các số hạng của dãy số, và nhận biết các loại dãy số đặc biệt. Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và phương pháp tính toán liên quan đến dãy số.
Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Các bài tập trên trang 27 thường yêu cầu học sinh xác định công sai, số hạng thứ n, và tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Công thức quan trọng:
Tương tự như cấp số cộng, cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó thương giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Các bài tập trên trang 28 thường yêu cầu học sinh xác định công bội, số hạng thứ n, và tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Công thức quan trọng:
Các bài tập trên trang 29 và 30 thường là sự kết hợp của các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, và cấp số nhân. Học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức và phương pháp giải để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Ngoài ra, các bài tập này còn có tính ứng dụng cao trong thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về tầm quan trọng của các kiến thức đã học.
Để học tốt môn Toán 11, học sinh cần thường xuyên luyện tập, làm bài tập, và tìm hiểu các kiến thức nâng cao. Ngoài ra, việc tham gia các khóa học online hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ các giáo viên, bạn bè cũng là một cách hiệu quả để nâng cao trình độ học tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng học sinh trong quá trình học tập môn Toán. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, và bài tập luyện tập, giúp học sinh nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
