THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều, bao gồm các trang 6, 7, 8 và 9. Chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, Montoan cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả nhất.
Cho vectơ (vec u) và điểm M trong mặt phẳng.
Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) và hai điểm M, N. Giả sử \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right),\,N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {MM'} \,\) và \(\overrightarrow {NN'} \) theo \(\vec u\).
b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {M'N'} \) và \(\overrightarrow {MN} \).
c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
+ Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
+ Dựa vào quy tắc 3 điểm để làm
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)\) nên \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\).
Vì \(N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\) nên \(\overrightarrow {NN'} = \vec u\).
b) Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N'} + \overrightarrow {N'N} = \vec u + \overrightarrow {M'N'} + \left( { - \overrightarrow {NN'} } \right) = \vec u + \overrightarrow {M'N'} + \left( { - \vec u} \right) = \overrightarrow {M'N'} \)Vậy \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \).
c) Vì \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \) nên MN = M'N'.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\)
Phương pháp giải:
Xác định ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến bằng cách:
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Sau đó xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C').
Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'} = \vec u = \left( {3;\,4} \right)\). Suy ra O'(3; 4).
Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính bằng 3.
Cho vectơ \(\vec u\) và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\) (Hình 3).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 3, xác định điểm M' thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\)
Lời giải chi tiết:
Cách xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho: \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\)
- Qua M kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ (hoặc trùng với giá của vectơ \(\vec u\) nếu điểm M thuộc giá của vectơ \(\vec u\)).
- Trên đường thẳng d, lấy điểm M' sao cho \(MM' = \left( {\vec u} \right)\), và hướng từ M đến M' cùng hướng với vectơ \(\vec u\). (Tham khảo Hình 3)
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} .\)
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
+ Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC và MN = AC. Do đó, \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \,\,(1)\).Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, do đó \(OA = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {OA} \,\,(3)\)
Vậy ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm M.
+ Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Do đó, \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (4)
Từ (2) và (4) suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OA} \)
Vậy ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm Q.
+ Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm O.
+ Lấy điểm E đối xứng với điểm O qua điểm A, khi đó A là trung điểm của OE.
Suy ra \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm E.
+ Lấy điểm F đối xứng với điểm N qua điểm M, khi đó M là trung điểm của NF.
Suy ra \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {MF} \,\,(5)\)
Từ (3) và (5) suy ra \(\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \)
Xét phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) (Hình 5).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) nên ta xác định các điểm A', B', C' bằng cách lấy các điểm đó thỏa mãn: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {MN} \) (như hình vẽ trên).
b) Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \), suy ra ABB'A' là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \,\,(1)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \), suy ra ACC'A' là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \,\,(2)\)
Vì A, B, C là 3 điểm thẳng hàng với B nằm giữa A và C nên \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,(k \ne 0)\) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {A'C'} \)
Vậy ba điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.
Cho vectơ \(\vec u\) và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\) (Hình 3).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 3, xác định điểm M' thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\)
Lời giải chi tiết:
Cách xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho: \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\)
- Qua M kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ (hoặc trùng với giá của vectơ \(\vec u\) nếu điểm M thuộc giá của vectơ \(\vec u\)).
- Trên đường thẳng d, lấy điểm M' sao cho \(MM' = \left( {\vec u} \right)\), và hướng từ M đến M' cùng hướng với vectơ \(\vec u\). (Tham khảo Hình 3)
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} .\)
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
+ Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC và MN = AC. Do đó, \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \,\,(1)\).Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, do đó \(OA = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {OA} \,\,(3)\)
Vậy ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm M.
+ Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Do đó, \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (4)
Từ (2) và (4) suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OA} \)
Vậy ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm Q.
+ Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm O.
+ Lấy điểm E đối xứng với điểm O qua điểm A, khi đó A là trung điểm của OE.
Suy ra \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm E.
+ Lấy điểm F đối xứng với điểm N qua điểm M, khi đó M là trung điểm của NF.
Suy ra \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {MF} \,\,(5)\)
Từ (3) và (5) suy ra \(\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {OA} \).
Vậy ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \)
Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) và hai điểm M, N. Giả sử \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right),\,N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {MM'} \,\) và \(\overrightarrow {NN'} \) theo \(\vec u\).
b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {M'N'} \) và \(\overrightarrow {MN} \).
c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
+ Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
+ Dựa vào quy tắc 3 điểm để làm
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)\) nên \(\overrightarrow {MM'} = \vec u\).
Vì \(N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\) nên \(\overrightarrow {NN'} = \vec u\).
b) Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N'} + \overrightarrow {N'N} = \vec u + \overrightarrow {M'N'} + \left( { - \overrightarrow {NN'} } \right) = \vec u + \overrightarrow {M'N'} + \left( { - \vec u} \right) = \overrightarrow {M'N'} \)Vậy \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \).
c) Vì \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \) nên MN = M'N'.
Xét phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) (Hình 5).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) nên ta xác định các điểm A', B', C' bằng cách lấy các điểm đó thỏa mãn: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {MN} \) (như hình vẽ trên).
b) Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \), suy ra ABB'A' là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \,\,(1)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \), suy ra ACC'A' là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \,\,(2)\)
Vì A, B, C là 3 điểm thẳng hàng với B nằm giữa A và C nên \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,(k \ne 0)\) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {A'C'} \)
Vậy ba điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\)
Phương pháp giải:
Xác định ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến bằng cách:
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Sau đó xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C').
Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'} = \vec u = \left( {3;\,4} \right)\). Suy ra O'(3; 4).
Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính bằng 3.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn trong các lớp học cao hơn.
Bài 1: (Trang 6) Cho điểm A(1; 2). Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1).
Giải: Gọi A'(x'; y') là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Ta có:
x' = x + vx = 1 + 3 = 4
y' = y + vy = 2 + (-1) = 1
Vậy A'(4; 1).
Bài 2: (Trang 7) Cho điểm B(-2; 3). Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm O(0; 0) góc 90 độ.
Giải: Gọi B'(x'; y') là ảnh của điểm B qua phép quay tâm O(0; 0) góc 90 độ. Ta có:
x' = -y = -3
y' = x = -2
Vậy B'(-3; -2).
Bài 3: (Trang 8) Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Giải: Gọi d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox. Mọi điểm M(x; y) thuộc d sẽ có ảnh M'(x; -y) thuộc d'. Thay x và -y vào phương trình đường thẳng d, ta được:
x + (-y) - 2 = 0
x - y - 2 = 0
Vậy phương trình đường thẳng d' là x - y - 2 = 0.
Bài 4: (Trang 9) Cho điểm C(4; -1). Tìm ảnh của điểm C qua phép đối xứng tâm I(1; 2).
Giải: Gọi C'(x'; y') là ảnh của điểm C qua phép đối xứng tâm I(1; 2). Ta có:
x' = 2ix - x = 2(1) - 4 = -2
y' = 2iy - y = 2(2) - (-1) = 5
Vậy C'(-2; 5).
Montoan.com.vn luôn cập nhật lời giải chi tiết và chính xác cho tất cả các bài tập trong sách giáo khoa Toán 11 Cánh Diều. Chúng tôi hy vọng rằng với những hỗ trợ từ Montoan, các bạn học sinh sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
