Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 3 - Cánh diều

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình \(2x + 1 = 0\).

Đáp án A.

Thay m = 2 vào phương trình để xác định.

Ta có: 2 – 2 = 0 nên phương trình m – 2 nhận m = 2 là nghiệm.

Đáp án A.

Giải phương trình để tìm nghiệm.

\(\begin{array}{l}x + 5 = x + 5\\x - x = 5 - 5\end{array}\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình \(x + 5 = x + 5\) có vô số nghiệm.

Đáp án A.

Gọi tuổi con hiện tại là x.

Lập phương trình.

Giải phương trình để tìm tuổi con. Kiểm tra kết quả.

Gọi tuổi của con hiện tại là x \(\left( {x > 1,x \in N*} \right)\)

Vì năm nay cha 39 tuổi và gấp 3 lần tuổi con năm ngoái nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}3\left( {x - 1} \right) = 39\\x - 1 = 13\\x = 14(TM)\end{array}\)

Vậy năm nay con 14 tuổi.

Đáp án C.

Biểu diễn tiền lương mỗi tháng theo x.

Vì tiền lương mỗi tháng của An bằng tổng tiền lương cơ bản và tiền phụ cấp nên ta có biểu thức:

\(x + 2\) (triệu đồng)

Đáp án D.

Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra tỉ số dựa vào tỉ số các cạnh tương ứng.

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ nên tỉ số đồng dạng là: \(k = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\) hay \(k = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{4}{2} = 2\).

Đáp án B.

Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

Xét hình 1 và hình 2 có một góc \({45^0}\), tỉ số hai cạnh kề góc dó là \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) nên hình 1 và hình 2 là hai tam giác đồng dạng.

Xét hình 1 và hình 2 có một góc \({45^0}\), tỉ số hai cạnh kề góc dó là \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ne \frac{2}{4}\) nên hình 1 và hình 3 không là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó suy ra hình 2 và hình 3 cũng không đồng dạng.

Vậy A đúng.

Đáp án A.

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng

Vì $\Delta GHI\backsim \Delta FEI$ nên \(\frac{y}{x} = \frac{{IF}}{{GI}} = \frac{{EF}}{{GH}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}\).

Đáp án C.

Xác định xem \(\Delta MKN\backsim \Delta PKM\) và $\Delta MKP\backsim \Delta MNP$ có đúng hay không.

\(\Delta MKN\) và \(\Delta PKM\) có \(\widehat N\) chung, \(\widehat M = \widehat K = {90^0}\) nên \(\Delta MKN\backsim \Delta PKM\) (g.g) suy ra khẳng định (1) đúng.

Tương tự $\Delta MKP\backsim \Delta NMP$ (g.g). Khẳng định (2) không đúng vì các đỉnh của hai tam giác đồng dạng chưa được viết chính xác.

Vậy chỉ có khẳng định (1) đúng.

Đáp án A.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta ADE$ suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng.

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có:

\(\widehat B = \widehat D\)

\(\widehat {CAB} = \widehat {EAD}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta ADE$ (g.g) suy ra \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DE}}\) hay \(\frac{{40}}{{50}} = \frac{{AD}}{{30}}\) suy ra \(AD = 30.\frac{{40}}{{50}} = 24\)(cm).

Đáp án B.

Dựa vào đặc điểm của các hình để xác định.

Trong các hình trên chỉ có hình vuông là hình có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau nên luôn đồng dạng.

Đáp án D.

Dựa vào tỉ số k tính kích thước cạnh hình b.

Vì hình b là hình a sau khi phóng to với kích thước k = 2 nên cạnh của hình b gấp 2 lần cạnh của hình a.

Ta có: 3.2 = 6; 4.2 = 8

\( \Rightarrow \) Kích thước hình b là 6 x 8.

Đáp án B.

a, b) Đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

c, d) Quy đồng bỏ mẫu đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

a) \(2x - 4 = 3x + 1\)

\(\begin{array}{l}2x - 3x = 1 + 4\\ - x = 5\\x = - 5\end{array}\)

Vậy \(x = - 5\).

b) \(7\left( {5 - x} \right) = 11 - 5x\)

\(\begin{array}{l}35 - 7x = 11 - 5x\\ - 7x + 5x = 11 - 35\\ - 2x = - 24\\x = 12\end{array}\)

Vậy \(x = 12\).

c) \(\frac{5}{6} + \frac{x}{4} = 2 - \frac{x}{3}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{10}}{{12}} + \frac{{3x}}{{12}} = \frac{{24}}{{12}} - \frac{{4x}}{{12}}\\10 + 3x = 24 - 4x\\3x + 4x = 24 - 10\\7x = 14\\x = 2\end{array}\)

Vậy \(x = 2\).

d) \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} = \frac{{1 + 3x}}{5} + \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{10.2\left( {x + 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {1 + 3x} \right)}}{{30}} + \frac{{15}}{{30}}\\20\left( {x + 1} \right) = 6\left( {1 + 3x} \right) + 15\\20x + 20 = 6 + 18x + 15\\20x - 18x = 6 + 15 - 20\\2x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\).

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là x (%) (x > 0)

Biểu diễn nồng độ muối trong dung dịch II, khối lượng muối trong hai dung dịch theo x và lập phương trình (Sử dụng công thức \(C\% = \frac{{{m_{ct}}.100\% }}{{{m_{hh}}}}\)).

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \(x\left( \% \right)\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là:

\(200.x\% = 200\frac{x}{{100}} = 2x\)(g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là \(x - 20\left( \% \right)\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là:

\(300.\left( {x - 20} \right)\% = 300.\frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)\)(g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là:

\(2x + 3\left( {x - 20} \right)\)(g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500\)(g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}}.100\% = 33\% \) hay \(2x + 3\left( {x - 20} \right) = 165\)

Giải phương trình ta được \(x = 45\)(thỏa mãn).

Suy ra nồng độ muối trong dung dịch II là: \(40 - 20 = 25\left( \% \right)\)

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là 45% và 25%.

a) Sử dụng định lí Pythagore để tính BC, sử dụng tính chất tia phân giác để tính \(\frac{{AD}}{{DC}}\).

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ theo trường hợp góc – góc suy ra tỉ số các cạnh tương ứng.

c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)

d) Chứng minh \(CH.CB = ED.EB = C{E^2}\)

a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\)

Suy ra \(BC = \sqrt {100} = 10\) (cm).

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có:

\(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại E nên \(\widehat {BEC} = {90^0}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = {90^0}\)

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BD là tia phân giác của góc ABC)

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (g.g) (đpcm)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số các cạnh tương ứng)

Do đó \(BD.EC = AD.BC\) (đpcm)

c) Vì \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) nên \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (cmt) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) (đpcm)

d) Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta CEB\) có:

\(\widehat {CHE} = \widehat {CEB} = {90^0}\)

\(\widehat C\) chung

Suy ra $\Delta CHE\backsim \Delta CEB$ (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) suy ra \(CH.CB = C{E^2}\) (3)

Tương tự, $\Delta CDE\backsim \Delta BCE$ (g.g) nên \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) suy ra \(ED.EB = C{E^2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(CH.CB = ED.EB\) (đpcm)

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x.

Biểu thị chiều rộng mảnh vườn theo x và giải phương trình.

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m), x > 3.

Chiều rộng của mảnh vườn là: x – 3 (m)

Vì chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là 42m nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}2\left[ {x + \left( {x - 3} \right)} \right] = 42\\2x - 3 = 21\\2x = 24\\x = 12\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.

Phân tích \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\)

Từ đó tính \({S_{2024}}\).

Ta có:

\({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2024}}\\ = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\\ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}}\\ = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}\end{array}\)

Vậy \({S_{2024}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}\)