Đề thi học kì 1 Toán 8 Cánh diều - Đề số 6

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 2.x.2y + 4{y^2} = {x^2} + 4xy + 4{y^2}\) nên biểu thức còn thiếu là \(4xy\).

Đáp án B

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{72^2} + {22^2} - 44.72\\ = {72^2} - 2.22.72 + {22^2}\\ = {\left( {72 - 22} \right)^2}\\ = {50^2} = 2500\end{array}\)

Đáp án C

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa chu vi đáy nhân chiều cao.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}.\left( {8.4} \right).15 = 240\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án B

Áp dụng định lí Pythagore đảo: nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trong tam giác thì tam giác là tam giác vuông.

\({9^2} + {6^2} = 81 + 36 = 117 \ne 100 = {10^2}\) nên 10cm, 6cm, 9cm không phải độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

\({3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \ne 36 = {6^2}\) nên 3 cm, 4 cm, 6 cm không phải độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

\({6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \ne 121 = {11^2}\) nên 11cm, 6cm, 8cm không phải độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

\({12^2} + {35^2} = 144 + 1225 = 1369 = {37^2}\) nên 12cm, 35cm, 37cm là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Đáp án D

Quan sát mặt phẳng tọa độ, xác định tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).

Tọa độ điểm M trên mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {3;2} \right)\).

Đáp án A

Thay \(x = - 3\) vào hàm số \(y = f\left( x \right)\) để tính giá trị.

Giá trị của \(f\left( { - 3} \right)\) là:

\(y = f\left( { - 3} \right) = \frac{1}{3}.\left( { - 3} \right) - 1 = - 1 - 1 = - 2\).

Đáp án B

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt (3 mặt bên, 1 mặt đáy) và 6 cạnh.

Đáp án D

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) có hệ số của \(x\) là \(a\) và hệ số tự do là \(b\).

Hàm số bậc nhất \(y = - \frac{1}{2}x + 7\) có hệ số của \(x\) là \( - \frac{1}{2}\) và hệ số tự do là \(7\).

Đáp án B

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích đáy nhân chiều cao: V = \(\frac{1}{3}\)S_đáy.h.

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

\(V = \frac{1}{3}.18.5 = 30\left( {c{m^3}} \right)\).

Đáp án C

Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức: ta chia lần lượt các hạng tử của đa thức cho đơn thức.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {8{x^9}{y^2} - 6{x^6}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2{x^3}{y^2}\\ = 8{x^9}{y^2}:2{x^3}{y^2} - 6{x^6}{y^3}:2{x^3}{y^2} + {x^3}{y^4}:2{x^3}{y^2}\\ = 4{x^6} - 3{x^3}y + \frac{1}{2}{y^2}\end{array}\)

Đáp án C

Biểu diễn số tiền \(y\) theo \(x\) dựa vào đề bài. Xác định xem \(y\) có phải là hàm số của \(x\) hay không

Số tiền bạn Lan mua \(x\) kg xoài là: \(50\,000.x\) (đồng)

Số tiền \(y\) còn lại khi mua \(x\) kg xoài là: \(y = 210\,000 - 50\,000x\).

Khi đó \(y\) là hàm số của \(x\).

Đáp án A

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Đáp án B

Áp dụng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

a) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

b) Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, sau đó sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

a) \({x^2} - 9 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)

b) \({x^2} - 4x + 4 - {y^2}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - {y^2}\\ = {\left( {x - 2} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {x - 2 - y} \right)\left( {x - 2 + y} \right)\end{array}\)

a) Thay \(x = 2\) vào A để tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu để rút gọn biểu thức B.

c) Tính \(P = A.B\), Sử dụng kiến thức về ước và bội, dấu hiệu chia hết để biện luận giá trị biểu thức là số nguyên.

a) Thay \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được: \(A = \frac{{2.2 - 3}}{{2 - 1}} = \frac{1}{1} = 1\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + \left( {x + 3x - 6x} \right) + \left( { - 3 + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = A.B = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\\ = \frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 5}}{{x + 1}} = 2 - \frac{5}{{x + 1}}\end{array}\)

Để P nguyên thì \(2 - \frac{5}{{x + 1}}\) nguyên, suy ra \(\frac{5}{{x + 1}}\) nguyên.

\(\frac{5}{{x + 1}}\) nguyên khi \(5 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(\left( {x + 1} \right) \in \) Ư(5) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vì \(x\) là số nguyên dương nên \(x = 4\) thỏa mãn.

Vậy biểu thức \(P = A.B\) nhận giá trị là số nguyên khi \(x = 4\).

a) Áp dụng công thức tính thời gian hoàn thành = tổng số sản phẩm làm được : số sản phẩm làm được trong 1 giờ.

b) Áp dụng công thức tính thời gian hoàn thành = tổng số sản phẩm làm được : số sản phẩm làm được trong 1 giờ.

Thời gian hoàn thành sớm hơn dự kiến = thời gian dự kiến – thời gian hoàn thành thực tế.

a) Biểu thức biểu thị thời gian dự kiến người công nhân đó hoàn thành kế hoạch là: \(\frac{{120}}{x}\) (giờ)

b) Trong 2 giờ công nhân sản xuất với năng suất dự kiến, người công nhân làm được: \(2x\) (sản phẩm).

Khi đó số sản phẩm còn lại là \(120 - 2x\) (sản phẩm)

Sau khi tăng năng suất thì mỗi giờ công nhân sản xuất được: \(x + 3\) sản phẩm.

Người đó sản xuất \(120 - 2x\) trong thời gian là: \(\frac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\) (giờ)

Biểu thức biểu thị thời gian thực tế công nhân đó hoàn thành số sản phẩm là: \(2 + \frac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\) (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian công nhân đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian dự kiến là:

\(\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} - \left( {2 + \frac{{120 - 2x}}{{x + 3}}} \right)\\ = \frac{{120}}{x} - 2 - \frac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\\ = \frac{{120\left( {x + 3} \right) - 2x\left( {x + 3} \right) - x\left( {120 - 2x} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{120x + 360 - 2{x^2} - 6x - 120x + 2{x^2}}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{360 - 6x}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)

a) Chứng minh BDCN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Chứng minh ABDN là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BN bằng nhau.

c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền để tính BC.

Áp dụng định lí Pythagore để tính AB.

Tính diện tích tam giác vuông bằng \(\frac{1}{2}\) tích hai cạnh góc vuông.

a) Xét tứ giác BNCD có:

M là giao điểm của BC và DN

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của ND (gt)

Suy ra BNCD là hình bình hành.

b) Vì tứ giác BNCD là hình bình hành nên BD // CN, BD = CN.

Mà AN = NC (vì N là trung điểm của AC)

nên BD // AN; BD = AN.

Xét tứ giác ABDN có:

BD // AN; BD = AN

Suy ra ABDN là hình bình hành.

Mà \(\widehat {BAN} = 90^\circ \) nên ABDN là hình chữ nhật.

Suy ra AD = BN

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC nên AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM = \frac{1}{2}BC\), suy ra \(BC = 2AM = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36\) suy ra \(AB = \sqrt {36} = 6\left( {cm} \right)\).

Vậy diện tích tam giác ABC là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Biến đổi đẳng thức \(\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1 = 0\) bằng cách nhân hai vế với 2.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để giải tìm x, y.

Thay vào M để tính giá trị của M.

Nhân hai vế của đẳng thức \(\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1 = 0\) với 2, ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( {\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1} \right) = 0\\{x^2} + 4{y^2} - 2x + 4y + 2 = 0\\\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4{y^2} + 4y + 1} \right) = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, \({\left( {2y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi y.

Để \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\) thì \(x - 1 = 0\) và \(2y + 1 = 0\), suy ra \(x = 1\) và \(y = \frac{{ - 1}}{2}\).

Thay vào M, ta được:

\(\begin{array}{l}M = {\left[ {1 + 2.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)} \right]^{2022}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2023}} + {\left( { - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right)^{2024}}\\ = {\left( {1 - 1} \right)^{2022}} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} + {1^{2024}}\\ = 0 - 1 + 1 = 0\end{array}\)