Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 16 trong Vở thực hành Toán 9 Tập 1 Chương V: Đường tròn, xoay quanh việc xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn. Vị trí tương đối này có thể là một trong ba trường hợp: đường thẳng không cắt đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hoặc đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

1. Lý thuyết cơ bản

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và đường tròn (O; R), ta thường sử dụng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d), ký hiệu là d(O; d). Khoảng cách này được tính bằng công thức:

d(O; d) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Trong đó:

• (d) có phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0
• O(x₀; y₀) là tọa độ tâm đường tròn
• R là bán kính đường tròn

Dựa vào khoảng cách d(O; d) và bán kính R, ta có thể kết luận về vị trí tương đối:

• d(O; d) > R: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung (đường thẳng nằm ngoài đường tròn).
• d(O; d) = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn).
• d(O; d) < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

2. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn khi biết phương trình.

Để giải dạng bài này, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình.
2. Tính khoảng cách d(O; d) từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
3. So sánh d(O; d) với R để kết luận về vị trí tương đối.

Dạng 2: Tìm điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

Để giải dạng bài này, ta sử dụng điều kiện d(O; d) = R. Thay tọa độ tâm và bán kính của đường tròn vào công thức, sau đó giải phương trình để tìm điều kiện của tham số (nếu có).

Dạng 3: Tìm giao điểm của đường thẳng và đường tròn.

Để giải dạng bài này, ta giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn. Số nghiệm của hệ phương trình sẽ cho biết số giao điểm của đường thẳng và đường tròn.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9 và đường thẳng (d): 3x - 4y + m = 0. Tìm giá trị của m để (d) tiếp xúc với (C).

Giải:

Tâm của đường tròn (C) là I(1; -2) và bán kính R = 3.

Khoảng cách từ I đến (d) là: d(I; d) = |3(1) - 4(-2) + m| / √(3² + (-4)²) = |11 + m| / 5

Để (d) tiếp xúc với (C), ta có d(I; d) = R, tức là |11 + m| / 5 = 3

Suy ra |11 + m| = 15

Trường hợp 1: 11 + m = 15 => m = 4

Trường hợp 2: 11 + m = -15 => m = -26

Vậy, m = 4 hoặc m = -26.

4. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, các em học sinh nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Việc hiểu rõ lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.