Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn - Toán 10 Cánh Diều

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một tập hợp các phương trình tuyến tính, trong đó mỗi phương trình chứa ba biến số. Việc giải hệ phương trình này đòi hỏi các em học sinh phải nắm vững các phương pháp như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp khử Gauss.

1. Khái niệm cơ bản về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng:

• a₁x + b₁y + c₁z = d₁
• a₂x + b₂y + c₂z = d₂
• a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Trong đó, x, y, z là các ẩn số, a_i, b_i, c_i, d_i (i = 1, 2, 3) là các hệ số thực.

2. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, trong đó phổ biến nhất là:

1. Phương pháp thế: Biểu diễn một ẩn theo các ẩn còn lại từ một phương trình, sau đó thay thế vào các phương trình khác để rút gọn hệ.
2. Phương pháp cộng đại số: Cộng hoặc trừ các phương trình với nhau để loại bỏ một ẩn, sau đó giải hệ phương trình mới với số ẩn ít hơn.
3. Phương pháp khử Gauss: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận hệ số để đưa hệ về dạng bậc thang, từ đó giải hệ.

3. Ví dụ minh họa

Xét hệ phương trình sau:

• x + y + z = 6
• 2x - y + z = 3
• x + 2y - z = 2

Sử dụng phương pháp cộng đại số, ta có thể giải hệ này như sau:

Cộng phương trình (1) và (2): 3x + 2z = 9 (4)

Cộng phương trình (1) và (3): 2x + 3y = 8 (5)

Nhân phương trình (1) với 2 và trừ phương trình (3): 2x + 2y - 2z = 4 (6)

Trừ phương trình (6) cho phương trình (2): -3y + 3z = 1 (7)

Giải hệ phương trình (5) và (7) để tìm y và z, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm x.

4. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập để các em luyện tập:

• Giải hệ phương trình: x + y - z = 1, 2x - y + z = 2, x + 2y + z = 3
• Tìm điều kiện để hệ phương trình: x + y + z = a, x - y + z = b, x + y - z = c có nghiệm duy nhất.
• Giải bài toán sau: Một người mua 3 loại hàng A, B, C với số tiền là 100 nghìn đồng. Biết giá tiền mỗi loại hàng A, B, C lần lượt là 10 nghìn, 20 nghìn, 5 nghìn. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu lượng hàng mỗi loại?

5. Lưu ý khi giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

• Kiểm tra kỹ các hệ số và hằng số trong phương trình.
• Chọn phương pháp giải phù hợp với từng hệ phương trình.
• Kiểm tra lại nghiệm sau khi giải.

Hy vọng với chuyên đề này, các em sẽ nắm vững kiến thức và kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Chúc các em học tập tốt!