Bài 3. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 3 trong chương trình Toán 9 tập 2, thuộc Chương 6 về Hàm số y = ax² (a ≠ 0) và phương trình bậc hai một ẩn, tập trung vào Định lí Viète và ứng dụng của nó. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai ở các lớp học cao hơn.

1. Định lí Viète

Định lí Viète khẳng định mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình đó. Cụ thể, cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, thì:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
• Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Định lí Viète không chỉ giúp chúng ta tìm mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số mà còn hỗ trợ trong việc kiểm tra nghiệm của phương trình, dự đoán dấu của nghiệm, và giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai.

2. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán sau:

1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của chúng: Nếu biết x₁ + x₂ và x₁ * x₂, ta có thể tìm ra x₁ và x₂ bằng cách giải hệ phương trình.
2. Xác định dấu của nghiệm: Dựa vào dấu của tổng và tích hai nghiệm, ta có thể suy ra dấu của các nghiệm. Ví dụ, nếu x₁ + x₂ < 0 và x₁ * x₂ > 0, thì hai nghiệm đều âm.
3. Tìm hệ số của phương trình bậc hai khi biết nghiệm: Nếu biết x₁ và x₂, ta có thể tìm ra a, b, c bằng cách sử dụng các công thức của định lí Viète.
4. Giải các bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng với hai nghiệm: Các biểu thức đối xứng với hai nghiệm (ví dụ: x₁² + x₂², x₁³ + x₂³) có thể được biểu diễn qua tổng và tích hai nghiệm, từ đó dễ dàng tính toán.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

• x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
• x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x² + 3x - 5 = 0. Tìm hai nghiệm của phương trình.

Ta có thể giải phương trình bằng công thức nghiệm hoặc sử dụng định lí Viète để tìm hai nghiệm. Trong trường hợp này, ta có thể phân tích phương trình thành (2x + 5)(x - 1) = 0, suy ra x₁ = 1 và x₂ = -5/2.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về Định lí Viète và ứng dụng của nó, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho phương trình x² + 4x - 5 = 0. Tìm tổng và tích của hai nghiệm.
• Bài 2: Cho phương trình 3x² - 7x + 2 = 0. Tìm hai nghiệm của phương trình.
• Bài 3: Cho hai số x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 4 và x₁ * x₂ = 3. Hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là x₁ và x₂.

5. Kết luận

Định lí Viète là một công cụ hữu ích trong việc giải toán liên quan đến phương trình bậc hai. Việc nắm vững định lí và các ứng dụng của nó sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.