THCS
THCS
Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán 9, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Hiểu rõ lý thuyết và nắm vững các ứng dụng của định lí sẽ giúp học sinh giải quyết bài tập một cách nhanh chóng và chính xác.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với hệ thống bài tập đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức về Định lí Viète và ứng dụng của nó trong Toán 9.
1. Định lí Viète Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)
1. Định lí Viète
Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète, được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp François Viète, thiết lập mối liên hệ giữa các hệ số của một đa thức và các nghiệm của nó. Trong chương trình Toán 9, định lí này thường được áp dụng cho phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Khi đó:
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức Δ = b2 - 4ac ≥ 0.
Khi biết các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai, ta có thể dễ dàng tìm được tổng và tích của các nghiệm mà không cần phải giải phương trình.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0. Tính tổng và tích của các nghiệm.
Giải:
a = 2, b = -5, c = 3
Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = -(-5)/2 = 5/2
Tích hai nghiệm: x1.x2 = 3/2
Định lí Viète có thể được sử dụng để xác định dấu của các nghiệm phương trình.
Nếu biết một nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụng Định lí Viète để tìm nghiệm còn lại.
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0 và biết một nghiệm là x1 = 2. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
a = 1, b = -5, c = 6
x1 + x2 = -(-5)/1 = 5
x2 = 5 - x1 = 5 - 2 = 3
Dưới đây là một số bài tập áp dụng Định lí Viète để bạn luyện tập:
Định lí Viète là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của định lí sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập Toán 9.
