THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trong chương trình Toán 9. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa đường tròn và tam giác, đồng thời ứng dụng vào giải các bài toán hình học.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về định nghĩa, tính chất và cách xác định đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chúng ta cũng sẽ cùng nhau khám phá các công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác – Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ giao điểm này đến một đỉnh bất kì của tam giác.
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác
– Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ giao điểm này đến một đỉnh bất kì của tam giác.
|
Ví dụ:
- Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
- Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
|
Ví dụ:
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; BO).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}a\).
|
Ví dụ:
Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC, bán kính \(OA = OB = OC = \frac{{\sqrt 3 }}{3}AB\).
2. Đường tròn nội tiếp một tam giác
Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếpđường tròn. - Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.
|
Ví dụ:
- Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).
- Tâm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều
Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}a\).
|
Ví dụ:
Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC, bán kính \(OD = OE = \frac{{\sqrt 3 }}{6}AB\).
Trong hình học lớp 9, việc nắm vững lý thuyết về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.
Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao điểm của các đường trung trực của tam giác.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp (R): Được tính theo công thức: R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.
Tính chất:
Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
Tâm đường tròn nội tiếp: Giao điểm của các đường phân giác của tam giác.
Bán kính đường tròn nội tiếp (r): Được tính theo công thức: r = 2S / (a + b + c), trong đó S là diện tích của tam giác, a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.
Tính chất:
Công thức Euler: d2 = R(R - 2r), trong đó d là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Giải:
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, CA = 7cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác:
p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9cm
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)) = √(9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)) = √(9 * 4 * 3 * 2) = √216 = 6√6 cm2
R = a / (2sinA) = BC / (2sinA). Để tính sinA, ta sử dụng định lý cosin: cosA = (AB2 + AC2 - BC2) / (2 * AB * AC) = (52 + 72 - 62) / (2 * 5 * 7) = 32 / 70 = 16 / 35. sinA = √(1 - cos2A) = √(1 - (16/35)2) = √(1 - 256/1225) = √(969/1225) = √969 / 35
R = 6 / (2 * (√969 / 35)) = 6 * 35 / (2 * √969) = 105 / √969 ≈ 3.38cm
Việc hiểu rõ lý thuyết và áp dụng các công thức liên quan đến đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác là rất quan trọng trong quá trình học Toán 9. Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.
