THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 9 tại montoan.com.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 4, 5, 6 SGK Toán 9 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một học sinh giải phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\) như sau: “Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: \(x + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} = 2\). Thu gọn vế trái, ta giải được \(x = 2\)”. Giá trị \(x = 2\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không? Vì sao?
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một học sinh giải phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\) như sau:
“Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:
\(x + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} = 2\).
Thu gọn vế trái, ta giải được \(x = 2\)”.
Giá trị \(x = 2\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình để kiểm tra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\), ta được:
\(\begin{array}{l}2 + \frac{1}{{2 - 2}} = 2 + \frac{1}{{2 - 2}}\\2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\end{array}\)
Không có phân số nào có mẫu là 0, nên phương trình \(2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\) là vô lý.
Vậy \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5SGK Toán 9 Cùng khám phá
Xét phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\).
a. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu để thu được một phương trình mới.
c. Giải phương trình mới ở câu b.
d. Giá trị của ẩn x tìm được ở câu c có thỏa mãn điều kiện xác định có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không?
Phương pháp giải:
Thực hiện từng bước của câu hỏi để giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
a. Phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\) được xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1\).
b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:
\(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình:
\(2\left( {x + 1} \right) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)\).
c. Giải phương trình (1a):
\(\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) = 3x\\2x + 2 = 3x\\3x - 2x = 2\\x = 2.\end{array}\)
d. Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a. \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\);
b. \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Cho các mẫu trong phương trình khác 0 để tìm điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải chi tiết:
a. Phương trình \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) được xác định khi \(x - 5 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 5\) và \(x \ne - 2\).
b. Phương trình \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\) được xác định khi \(x - 4 \ne 0\) hay \(x \ne 4\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a. \(1 + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\);
b. \(\frac{{2x + 3}}{x} = \frac{{8x - 1}}{{4\left( {x - 2} \right)}}\).
Phương pháp giải:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình;
+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu;
+ Giải phương trình vừa nhận được;
+ Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
Lời giải chi tiết:
a. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 4\).
Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{x - 4}} + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\\x - 4 + 3x - 2 = 2\\4x - 6 = 2\\4x = 8\\x = 2.\end{array}\)
Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\).
b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2\).
Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {8x - 1} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}}\\\left( {4x - 8} \right)\left( {2x + 3} \right) = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 24 = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 8x_{}^2 + x = 24\\ - 3x = 24\\x = - 8.\end{array}\)
Ta thấy \(x = - 8\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = - 8\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một học sinh giải phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\) như sau:
“Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:
\(x + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} = 2\).
Thu gọn vế trái, ta giải được \(x = 2\)”.
Giá trị \(x = 2\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình để kiểm tra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\), ta được:
\(\begin{array}{l}2 + \frac{1}{{2 - 2}} = 2 + \frac{1}{{2 - 2}}\\2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\end{array}\)
Không có phân số nào có mẫu là 0, nên phương trình \(2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\) là vô lý.
Vậy \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a. \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\);
b. \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Cho các mẫu trong phương trình khác 0 để tìm điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải chi tiết:
a. Phương trình \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) được xác định khi \(x - 5 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 5\) và \(x \ne - 2\).
b. Phương trình \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\) được xác định khi \(x - 4 \ne 0\) hay \(x \ne 4\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5SGK Toán 9 Cùng khám phá
Xét phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\).
a. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu để thu được một phương trình mới.
c. Giải phương trình mới ở câu b.
d. Giá trị của ẩn x tìm được ở câu c có thỏa mãn điều kiện xác định có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không?
Phương pháp giải:
Thực hiện từng bước của câu hỏi để giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
a. Phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\) được xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1\).
b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:
\(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình:
\(2\left( {x + 1} \right) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)\).
c. Giải phương trình (1a):
\(\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) = 3x\\2x + 2 = 3x\\3x - 2x = 2\\x = 2.\end{array}\)
d. Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a. \(1 + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\);
b. \(\frac{{2x + 3}}{x} = \frac{{8x - 1}}{{4\left( {x - 2} \right)}}\).
Phương pháp giải:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình;
+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu;
+ Giải phương trình vừa nhận được;
+ Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
Lời giải chi tiết:
a. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 4\).
Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{x - 4}} + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\\x - 4 + 3x - 2 = 2\\4x - 6 = 2\\4x = 8\\x = 2.\end{array}\)
Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\).
b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2\).
Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {8x - 1} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}}\\\left( {4x - 8} \right)\left( {2x + 3} \right) = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 24 = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 8x_{}^2 + x = 24\\ - 3x = 24\\x = - 8.\end{array}\)
Ta thấy \(x = - 8\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = - 8\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một đội máy xúc trên công trường đào được \(8000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ nhất và \(10000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ hai. Biết rằng thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau và mỗi ngày trong đợt thứ hai đội đào nhiều hơn \(50m_{}^3\) so với mỗi ngày trong đợt thứ nhất. Tìm năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong mỗi đợt.
Phương pháp giải:
+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện của x;
+ Biểu diễn bài toán về phương trình ẩn x;
+ Giải phương trình ẩn x, đối chiếu điều kiện của x;
+ Kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
Gọi năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 1 là x (\(m_{}^3/\)ngày, \(x > 0\)).
Năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 2 là \(x + 50\)(\(m_{}^3/\) ngày).
Thời gian làm việc của đội trong đợt 1 là: \(\frac{{8000}}{x}\) (ngày).
Thời gian làm việc của đội trong đợt 2 là: \(\frac{{10000}}{{x + 50}}\) (ngày).
Do thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{8000}}{x} = \frac{{10000}}{{x + 50}}\\\frac{{8000\left( {x + 50} \right)}}{{x\left( {x + 50} \right)}} = \frac{{10000x}}{{x\left( {x + 50} \right)}}\\8000x + 400000 = 10000x\\10000x - 8000x = 400000\\2000x = 400000\\x = 200.\end{array}\)
Ta thấy \(x = 200\) thỏa mãn điều kiện của x.
Vậy trung bình mỗi ngày đợt 1 đội làm được \(200\)(\(m_{}^3/\)ngày), trung bình mỗi ngày đợt 2 đội làm được \(250\) (\(m_{}^3/\)ngày).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một đội máy xúc trên công trường đào được \(8000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ nhất và \(10000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ hai. Biết rằng thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau và mỗi ngày trong đợt thứ hai đội đào nhiều hơn \(50m_{}^3\) so với mỗi ngày trong đợt thứ nhất. Tìm năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong mỗi đợt.
Phương pháp giải:
+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện của x;
+ Biểu diễn bài toán về phương trình ẩn x;
+ Giải phương trình ẩn x, đối chiếu điều kiện của x;
+ Kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
Gọi năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 1 là x (\(m_{}^3/\)ngày, \(x > 0\)).
Năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 2 là \(x + 50\)(\(m_{}^3/\) ngày).
Thời gian làm việc của đội trong đợt 1 là: \(\frac{{8000}}{x}\) (ngày).
Thời gian làm việc của đội trong đợt 2 là: \(\frac{{10000}}{{x + 50}}\) (ngày).
Do thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{8000}}{x} = \frac{{10000}}{{x + 50}}\\\frac{{8000\left( {x + 50} \right)}}{{x\left( {x + 50} \right)}} = \frac{{10000x}}{{x\left( {x + 50} \right)}}\\8000x + 400000 = 10000x\\10000x - 8000x = 400000\\2000x = 400000\\x = 200.\end{array}\)
Ta thấy \(x = 200\) thỏa mãn điều kiện của x.
Vậy trung bình mỗi ngày đợt 1 đội làm được \(200\)(\(m_{}^3/\)ngày), trung bình mỗi ngày đợt 2 đội làm được \(250\) (\(m_{}^3/\)ngày).
Mục 2 của SGK Toán 9 tập 1 tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về các phép biến đổi đơn giản với biểu thức hữu tỉ. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức phức tạp hơn trong chương trình Toán 9. Các bài tập trong mục này thường xoay quanh việc rút gọn biểu thức, tìm điều kiện xác định của biểu thức, và thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức hữu tỉ.
Bài tập 1 yêu cầu học sinh rút gọn biểu thức. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc về thứ tự thực hiện các phép toán, các công thức rút gọn biểu thức, và các điều kiện xác định của biểu thức. Ví dụ:
Cho biểu thức: A = (x + 2)/(x - 1)
Để rút gọn biểu thức A, ta cần tìm điều kiện xác định của biểu thức, sau đó thực hiện các phép toán để đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất.
Bài tập 2 thường liên quan đến việc tìm điều kiện xác định của biểu thức. Điều kiện xác định của biểu thức là các giá trị của biến sao cho biểu thức có nghĩa. Để tìm điều kiện xác định, học sinh cần xác định các mẫu số khác 0, các căn bậc chẵn có giá trị không âm, và các logarit có cơ số và biểu thức bên trong logarit dương.
Ví dụ:
Tìm điều kiện xác định của biểu thức: B = √(x - 2) + 1/(x + 1)
Để biểu thức B có nghĩa, ta cần có x - 2 ≥ 0 và x + 1 ≠ 0. Từ đó, ta suy ra x ≥ 2 và x ≠ -1.
Bài tập 3 thường yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức hữu tỉ. Để giải bài tập này, học sinh cần quy đồng mẫu số, thực hiện các phép toán trên tử số và mẫu số, và rút gọn biểu thức kết quả.
Ví dụ:
Thực hiện phép tính: C = (x + 1)/(x - 2) + (x - 3)/(x + 2)
Để thực hiện phép tính C, ta cần quy đồng mẫu số (x - 2)(x + 2), sau đó cộng các phân thức và rút gọn biểu thức kết quả.
Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập trong mục 2 trang 4, 5, 6 SGK Toán 9 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
