THCS
THCS
Phương trình bậc hai một ẩn là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 9. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải phương trình bậc hai là điều kiện cần thiết để học tốt các kiến thức toán học ở các lớp trên.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài giảng lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu, kết hợp với các bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục chủ đề này.
1. Phương trình bậc hai một ẩn Phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) với a, b, c là ba số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là phương trình bậc hai một ẩn (ẩn số là x) hay còn nói gọn là phương trình bậc hai.
1. Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) với a, b, c là ba số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là phương trình bậc hai một ẩn (ẩn số là x) hay còn nói gọn là phương trình bậc hai. |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) là phương trình bậc hai với \(a = 2;b = - 3;c = 1\).
Phương trình \({x^2} - 3 = 0\) là phương trình bậc hai với \(a = 1,b = 0,c = - 3\).
Phương trình \(0{x^2} - 2x - 3 = 0\) không là phương trình bậc hai vì \(a = 0\).
2. Một số cách giải phương trình bậc hai
Ta có thể giải phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) theo các cách sau: - Đưa về phương trình tích - Biến đổi vế trái của phương trình về dạng \(a{\left( {x + h} \right)^2} = k\) với h, k là các hằng số. |
Ví dụ 1: Giải phương trình \(2{x^2} - 4x = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 4x = 0\\2x\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\)
\(x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{x_2} = 2\).
Ví dụ 2: Giải phương trình \({x^2} - 4x = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x = 5\\{x^2} - 4x + 4 = 5 + 4\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 9\end{array}\)
\(x - 2 = 3\) hoặc \(x - 2 = - 3\)
suy ra \(x = 5\) hoặc \(x = - 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 5,{x_2} = - 1\).
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). - Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - 7x - 8 = 0\).
Ta có: \(a = 1,b = - 7,c = - 8\).
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 8} \right) = 81 > 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {81} }}{{2.1}} = 8;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {81} }}{{2.1}} = - 1\).
Lưu ý: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(ac < 0\) (a và c trái dấu) thì \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Phương trình \({x^2} + 3572x - 3573 = 0\) có \(a = 1 > 0,c = - 3573 < 0\), suy ra a và c trái dấu.
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\). - Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\). - Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\). - Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Ví dụ: Giải phương trình \(7{x^2} - 12x + 5 = 0\).
Ta có: \(a = 7,b' = - 6,c = 5\).
\(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 7.5 = 1 > 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + 1}}{7} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - 1}}{7} = \frac{5}{7}\).
3. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dạng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai.
Bước 1. Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU).
- Đối với máy Fx-570VN PLUS, ta bấm phím MODE rồi bấm phím 5 rồi bấm phím 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.
- Đối với máy Fx-580VNX, ta bấm MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 2 để chọn Polynomial Degree
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải phương trình bậc hai
Bước 2. Ta nhập các hệ số \(a,b,c\) bằng cách bấm
Đối với phương trình bậc hai có nghiệm kép, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:
Đối với phương trình bậc hai vô nghiệm, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng tổng quát: ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. x là ẩn số của phương trình. Việc hiểu rõ các hệ số a, b, c và vai trò của chúng trong việc xác định tính chất của phương trình là bước đầu tiên để giải quyết bài toán.
Để giải phương trình bậc hai đầy đủ ax² + bx + c = 0, ta sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Biểu thức Δ = b² - 4ac được gọi là delta (biệt thức) của phương trình. Delta đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số nghiệm của phương trình:
Phương trình ax² + bx = 0 có thể được giải bằng cách đặt nhân tử chung:
x(ax + b) = 0
Suy ra: x = 0 hoặc ax + b = 0 => x = -b/a
Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = 0 và x₂ = -b/a
Phương trình ax² + c = 0 có thể được giải như sau:
ax² = -c
x² = -c/a
Nếu -c/a > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = √( -c/a) và x₂ = -√( -c/a)
Nếu -c/a = 0: Phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = 0
Nếu -c/a < 0: Phương trình vô nghiệm.
Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 thì:
Các công thức này rất hữu ích trong việc kiểm tra nghiệm và giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai.
Để củng cố kiến thức, hãy cùng giải một số bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin hơn khi học và giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn Toán 9. Chúc bạn học tốt!
