THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các tỉ số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) và cách áp dụng chúng vào việc giải tam giác vuông.
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \). |
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotang kết đoàn |
Lưu ý:
1. Trong một tam giác vuông, độ dài các cạnh luôn là số dương và cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền. Do đó sin và côsin của một góc nhọn luôn dương và nhỏ hơn 1.
\(\alpha < {90^0}:0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\).
2. Khi ghi các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta viết \(\sin A\) thay vì \(\sin \widehat A\).
3. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\).
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
2. Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc \({30^0},{45^0},{60^0}\)
\(\alpha \) | \({30^0}\) | \({45^0}\) | \({60^0}\) |
\(\sin \alpha \) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) |
\(\cos \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
\(\tan \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt 3 \) |
\(\cot \alpha \) | \(\sqrt 3 \) | \(1\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) |
3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtang góc kia. \(\begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cot \alpha = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha .} \right)\end{array}\) |
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau, ta có:
\(\sin \alpha = \cos \beta \), \(\cos \alpha = \sin \beta \), \(\tan \alpha = \cot \beta \), \(\cot \alpha = \tan \beta \).
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
4. Tính các tỉ số lượng giác của một góc khi biết số đo góc và tính số đo góc khi biết tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay.
a) Tính tỉ số lượng giác khi biết số đo góc
Ngoài đơn vị độ, người ta còn dùng đơn vị phút (‘) và giây (“) để đo góc chính xác hơn với \({1^0} = 60';1' = 60''\).
Để tính các tỉ số lượng giác sin, côsin và tang của một góc, ta sử dụng các phím
Để tính giá trị côtang của một góc \(\alpha \), ta tính tang của \({90^0} - \alpha \) hoặc tính giá trị \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).
b) Tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác
Khi biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính số đo của góc nhọn đó. Để tìm góc nhọn \(\alpha \), ta bấm:
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, phần Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò vô cùng quan trọng. Nó là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Góc B và góc C là các góc nhọn. Ta định nghĩa:
Tương tự, ta có thể định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc C.
Việc nắm vững bảng giá trị của các tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) là rất quan trọng để giải nhanh các bài toán. Dưới đây là bảng giá trị:
| Góc (α) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Các tỉ số lượng giác có mối quan hệ mật thiết với nhau. Một số mối quan hệ quan trọng cần nhớ:
Các tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải tam giác vuông, tính góc và cạnh của tam giác, và trong nhiều lĩnh vực khác như đo đạc, hàng hải, xây dựng,...
Ví dụ, để tính độ cao của một tòa nhà, ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác tan. Nếu biết góc tạo bởi tia nhìn từ một điểm trên mặt đất đến đỉnh tòa nhà và khoảng cách từ điểm đó đến chân tòa nhà, ta có thể tính được độ cao của tòa nhà.
Để củng cố kiến thức, các em hãy thử giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9. Chúc các em học tập tốt!
