Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng - Toán 10 Cánh Diều

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 10 Cánh Diều là một phần quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học giải tích nâng cao hơn. Nắm vững kiến thức về ba đường conic – elip, hypebol và parabol – không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn mở ra cánh cửa hiểu biết về các ứng dụng thực tế của chúng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống.

1. Giới thiệu chung về đường conic

Đường conic là tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định liên quan đến một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Ba đường conic cơ bản là:

• Elip: Tập hợp các điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là một hằng số.
• Hypebol: Tập hợp các điểm mà hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm là một hằng số.
• Parabol: Tập hợp các điểm cách đều một tiêu điểm và một đường chuẩn.

2. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, với F₁, F₂ là hai tiêu điểm và a là bán trục lớn.

Phương trình chính tắc: x²/a² + y²/b² = 1 (với a > b > 0)

Tính chất:

• Tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), với c² = a² - b²
• Độ dài trục lớn: 2a
• Độ dài trục nhỏ: 2b
• Tâm sai: e = c/a

3. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ - MF₂| = 2a, với F₁, F₂ là hai tiêu điểm và a là bán trục thực.

Phương trình chính tắc: x²/a² - y²/b² = 1

Tính chất:

• Tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), với c² = a² + b²
• Độ dài trục thực: 2a
• Độ dài trục ảo: 2b
• Tâm sai: e = c/a

4. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn.

Phương trình chính tắc: y² = 2px

Tính chất:

• Tiêu điểm: F(p/2; 0)
• Đường chuẩn: x = -p/2
• Tham số tiêu: p

5. Ứng dụng của ba đường conic

Ba đường conic có rất nhiều ứng dụng trong thực tế:

• Elip: Đường elip được sử dụng trong thiết kế các quĩ đạo của vệ tinh, các đĩa CD, DVD, và trong kiến trúc xây dựng các mái vòm.
• Hypebol: Hypebol được sử dụng trong hệ thống định vị LORAN, trong thiết kế các tháp làm mát, và trong vật lý hạt nhân.
• Parabol: Parabol được sử dụng trong thiết kế các ăng-ten parabol, đèn pha ô tô, và trong kiến trúc xây dựng các cầu.

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Viết phương trình elip có tiêu điểm F₁(-2; 0), F₂(2; 0) và đi qua điểm A(3; 1).
2. Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol y² = 8x.
3. Xác định loại đường conic có phương trình 4x² - 9y² = 36.

Hy vọng chuyên đề này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về ba đường conic. Chúc bạn học tập tốt!