Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 4 trang 43, 44, 45 trong Chuyên đề học tập Toán 10 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích chi tiết để các em có thể tự học và ôn tập tại nhà.
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\).
VD 4
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\). Do đó \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0,8\). Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 5 + 0,8.2 = 6,6;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 5 - 0,8.2 = 3,4\)
HĐ 6
Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), chứng minh:
a) \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\)
b) \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\)
c) \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).2a = 4cx\)
\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a\left( 1 \right)\\M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: \(2M{F_1} = 2a + \frac{{2c}}{a}x \Rightarrow M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\)
c) Ta có: \(M{F_2} = 2a - M{F_1} = 2a - \left( {a + \frac{c}{a}x} \right) = a - \frac{c}{a}x\)
VD 5
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu \(M{F_1}\) và \(M{F_2}\)
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
Vì \( - a \le x \le a\) nên \(a + \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \le a + \frac{c}{a}x \le a + \frac{c}{a}\left( a \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_1} \le a + c\)
Vậy \(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
Tương tự với \(M{F_2}\), ta có \( - a \le x \le a \Rightarrow a \ge - x \ge - a\) hay \( - a \le x \le a\) nên \(a - \frac{c}{a}\left( a \right) \le a - \frac{c}{a}x \le a - \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_2} \le a + c\)
Vậy \(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Bài 3
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\). Tìm tọa độ \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) nhỏ nhất
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có \(a = 3,b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \)
Độ dài bán kính qua tiêu \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{\sqrt 5 }}{3}x.\)
Vì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) nên
\(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(3 - \sqrt 5 \) khi \(x = 3.\)
Mà \(M \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{9}} \right) = 4\left( {1 - \frac{{{3^2}}}{9}} \right) = 0\)
Vậy \(M\left( {3;0} \right)\) thì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3 - \sqrt 5 \).
- HĐ 5
- HĐ 6
- VD 4
- VD 5
- Bài 3
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 8). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của elip (E)
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip (E)
Chứng minh rằng:
a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)
Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), chứng minh:
a) \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\)
b) \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\)
c) \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).2a = 4cx\)
\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a\left( 1 \right)\\M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{a}x\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: \(2M{F_1} = 2a + \frac{{2c}}{a}x \Rightarrow M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\)
c) Ta có: \(M{F_2} = 2a - M{F_1} = 2a - \left( {a + \frac{c}{a}x} \right) = a - \frac{c}{a}x\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\). Do đó \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0,8\). Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 5 + 0,8.2 = 6,6;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 5 - 0,8.2 = 3,4\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu \(M{F_1}\) và \(M{F_2}\)
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
Vì \( - a \le x \le a\) nên \(a + \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \le a + \frac{c}{a}x \le a + \frac{c}{a}\left( a \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_1} \le a + c\)
Vậy \(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
Tương tự với \(M{F_2}\), ta có \( - a \le x \le a \Rightarrow a \ge - x \ge - a\) hay \( - a \le x \le a\) nên \(a - \frac{c}{a}\left( a \right) \le a - \frac{c}{a}x \le a - \frac{c}{a}\left( { - a} \right) \Leftrightarrow a - c \le M{F_2} \le a + c\)
Vậy \(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\). Tìm tọa độ \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) nhỏ nhất
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.\)
\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = - a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có \(a = 3,b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \)
Độ dài bán kính qua tiêu \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{\sqrt 5 }}{3}x.\)
Vì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(a - c\) khi \(x = a\) nên
\(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất là \(3 - \sqrt 5 \) khi \(x = 3.\)
Mà \(M \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{9}} \right) = 4\left( {1 - \frac{{{3^2}}}{9}} \right) = 0\)
Vậy \(M\left( {3;0} \right)\) thì \(M{F_2}\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3 - \sqrt 5 \).
HĐ 5
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 8). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của elip (E)
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip (E)
Chứng minh rằng:
a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)
c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)
Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Mục 4 của Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh Diều tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ trong hình học phẳng. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất của vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ, giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.
Nội dung chính của mục 4
- Các khái niệm cơ bản về vectơ: Định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), tích vô hướng của hai vectơ.
- Ứng dụng của vectơ trong chứng minh đẳng thức vectơ: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vectơ, quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác để chứng minh các đẳng thức vectơ.
- Ứng dụng của vectơ trong giải bài toán hình học: Sử dụng vectơ để biểu diễn các điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình bình hành, và các hình khác.
Giải chi tiết các bài tập trang 43
Bài 1:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có: overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}. Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có: overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC} =overrightarrow{AC}. Suy ra overrightarrow{BC} =overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB}. Do đó, overrightarrow{BM} = (overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB})/2. Cuối cùng, ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + (overrightarrow{AC} -overrightarrow{AB})/2 = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2 (đpcm).
Bài 2:
...
Giải chi tiết các bài tập trang 44
...
Giải chi tiết các bài tập trang 45
...
Lưu ý khi giải bài tập về vectơ
- Nắm vững các định nghĩa, tính chất của vectơ.
- Sử dụng thành thạo các quy tắc cộng, trừ vectơ, quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác.
- Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về vectơ trong Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh Diều. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Các tài liệu tham khảo hữu ích
- Sách giáo khoa Toán 10 Cánh Diều
- Sách bài tập Toán 10 Cánh Diều
- Các trang web học toán online uy tín
Chúc các em học tập tốt!
