THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 25, 26 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của bài toán.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất của vectơ để giải quyết các bài toán hình học và đại số. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Bài tập 1 yêu cầu học sinh xác định các vectơ bằng nhau trong một hình vẽ cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa về hai vectơ bằng nhau: hai vectơ được gọi là bằng nhau khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Việc quan sát kỹ hình vẽ và so sánh các vectơ là rất quan trọng để đưa ra kết luận chính xác.
Bài tập 2 thường liên quan đến việc tìm vectơ tổng của hai vectơ. Để tìm vectơ tổng của hai vectơ, học sinh có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Quy tắc hình bình hành cho rằng vectơ tổng của hai vectơ là đường chéo của hình bình hành được tạo bởi hai vectơ đó. Quy tắc tam giác cho rằng vectơ tổng của hai vectơ là cạnh thứ ba của tam giác được tạo bởi hai vectơ đó.
Bài tập 3 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ. Để chứng minh một đẳng thức vectơ, học sinh cần sử dụng các tính chất của phép cộng, phép trừ và phép nhân vectơ với một số thực. Việc biến đổi đẳng thức vectơ về dạng đơn giản nhất là rất quan trọng để chứng minh tính đúng đắn của nó.
Bài tập 4 thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Ví dụ, học sinh có thể cần tìm tọa độ của một điểm trong mặt phẳng dựa trên tọa độ của các điểm khác và các vectơ liên quan. Việc sử dụng hệ tọa độ và các công thức tính toán là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.
Bài tập 5 có thể là một bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau về vectơ. Để giải bài toán này, học sinh cần phân tích đề bài một cách cẩn thận, xác định các thông tin quan trọng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức về vectơ:
Việc giải các bài tập trong mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của các em học sinh. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
