THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 50, 51 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của bài toán.
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y = - 3x\)
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ 2 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có hypebol có đỉnh \({A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15\)
Vậy phương trình hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\)
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)
+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)
Lời giải chi tiết:
a) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.\)
b) Ta có: \(P\left( { - a;b} \right),R\left( {a; - b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR} = \left( {2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b;a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: \(PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0\) hay \(PR:y = - \frac{b}{a}x\)
Ta có: \(Q\left( {a;b} \right),S - \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS} = \left( { - 2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b; - a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: \(QS:b\left( {x - a} \right) - a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx - ay = 0\) hay \(QS:y = \frac{b}{a}x\)
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)
+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)
Lời giải chi tiết:
a) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.\)
b) Ta có: \(P\left( { - a;b} \right),R\left( {a; - b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR} = \left( {2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b;a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: \(PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0\) hay \(PR:y = - \frac{b}{a}x\)
Ta có: \(Q\left( {a;b} \right),S - \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS} = \left( { - 2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b; - a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: \(QS:b\left( {x - a} \right) - a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx - ay = 0\) hay \(QS:y = \frac{b}{a}x\)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y = - 3x\)
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ 2 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có hypebol có đỉnh \({A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15\)
Vậy phương trình hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ trong mặt phẳng. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất của vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Bài 1 thường xoay quanh việc xác định các vectơ, tính độ dài của vectơ, và thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của vectơ, hiểu rõ cách biểu diễn vectơ trên mặt phẳng tọa độ, và áp dụng các công thức tính toán một cách chính xác.
Cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm vectơ AB và tính độ dài của vectơ AB.
Vectơ AB có tọa độ là (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Độ dài của vectơ AB là |AB| = √((2)^2 + (2)^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.
Bài 2 thường liên quan đến việc chứng minh các đẳng thức vectơ, sử dụng các tính chất của vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các tính chất của vectơ, biết cách phân tích vectơ thành các thành phần, và áp dụng các phương pháp chứng minh hình học một cách linh hoạt.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC}.
Vectơ AC có thể được phân tích thành tổng của hai vectơ AB và BC theo quy tắc cộng vectơ.
Theo quy tắc cộng vectơ, overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC}.
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 2 trang 50, 51 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
