THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trang 53, 54 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\)).
+ Tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\) hay \(\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.\) Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 1\)
Vậy PTCT của hypebol là \({x^2} - {y^2} = 1\)
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\)
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Viết lại phương trình đưởng thẳng \({\Delta _1}\) ở dạng: \(x + 0y + \frac{a}{e} = 0\)
Với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\), ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}\)
b) Ta có: \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e\)
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\)
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Viết lại phương trình đưởng thẳng \({\Delta _1}\) ở dạng: \(x + 0y + \frac{a}{e} = 0\)
Với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\), ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}\)
b) Ta có: \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e\)
Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\)).
+ Tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\) hay \(\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.\) Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 1\)
Vậy PTCT của hypebol là \({x^2} - {y^2} = 1\)
Mục 5 trong Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, vì vectơ là nền tảng cho nhiều khái niệm và định lý trong hình học và vật lý. Việc nắm vững kiến thức về vectơ sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Mục 5 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài 1: Cho hai vectơ \vec{a}" và \vec{b}". Tính \vec{a} + \vec{b}" và \vec{a} - \vec{b}".
Lời giải: Để tính tổng và hiệu của hai vectơ, ta thực hiện phép cộng hoặc trừ các thành phần tương ứng của chúng. Ví dụ, nếu \vec{a} = (a_1, a_2)" và \vec{b} = (b_1, b_2)" thì \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)" và \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)".
Bài 2: Tính độ dài của vectơ \vec{c} = (3, -4)".
Lời giải: Độ dài của vectơ \vec{c} = (x, y)" được tính bằng công thức |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}". Trong trường hợp này, |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5".
Bài 3: Cho hai vectơ \vec{u} = (1, 2)" và \vec{v} = (-3, 1)". Tính tích vô hướng của \vec{u}" và \vec{v}".
Lời giải: Tích vô hướng của hai vectơ \vec{u} = (u_1, u_2)" và \vec{v} = (v_1, v_2)" được tính bằng công thức \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2". Trong trường hợp này, \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-3) + (2)(1) = -3 + 2 = -1".
Bài 4: Kiểm tra xem hai vectơ \vec{p} = (2, -1)" và \vec{q} = (-1, -2)" có vuông góc với nhau hay không.
Lời giải: Hai vectơ \vec{p}" và \vec{q}" vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Ta có \vec{p} \cdot \vec{q} = (2)(-1) + (-1)(-2) = -2 + 2 = 0". Vậy hai vectơ \vec{p}" và \vec{q}" vuông góc với nhau.
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là phần vectơ, các em cần:
Hy vọng rằng lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trang 53, 54 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều sẽ giúp các em học sinh học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
