Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 10 hiện hành.
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) Tính \({S_1}\); \({S_2}\);\({S_3}\); \({S_4}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \(n = 1 \Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.5}} = \frac{1}{5}\);
\({S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}\);
\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}\);
b) Ta có:
\({S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};\)\({S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};\)\({S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};\)
Dự doán: \({S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\) hay \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Tổng quan
Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, đặc biệt là phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.
Nội dung chi tiết bài 3
Bài 3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Thực hiện các phép toán vectơ. Học sinh cần tính toán các phép cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số thực dựa trên các thông tin đã cho trong đề bài.
- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. Học sinh cần sử dụng các quy tắc phép toán vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ nào đó.
- Dạng 3: Ứng dụng vectơ vào hình học. Học sinh cần sử dụng vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến các khái niệm hình học như trung điểm, trọng tâm, đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết bài 3 trang 29
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Câu a)
Đề bài: Cho hai vectơ a và b. Tìm vectơ c sao cho c = a + b.
Lời giải: Để tìm vectơ c, ta thực hiện phép cộng vectơ a và b theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Kết quả là vectơ c có:
- Độ dài bằng tổng độ dài của hai vectơ a và b (nếu hai vectơ cùng hướng).
- Hướng là hướng của hai vectơ a và b (nếu hai vectơ cùng hướng).
Câu b)
Đề bài: Cho vectơ a = (x1, y1) và vectơ b = (x2, y2). Tìm vectơ d sao cho d = 2a - b.
Lời giải: Để tìm vectơ d, ta thực hiện phép nhân vectơ a với 2, sau đó thực hiện phép trừ vectơ b. Kết quả là vectơ d có tọa độ:
d = (2x1 - x2, 2y1 - y2)
Mẹo giải bài tập vectơ
Để giải các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, các em học sinh nên:
- Nắm vững các định nghĩa, tính chất và quy tắc phép toán vectơ.
- Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
- Sử dụng các công thức và định lý liên quan một cách linh hoạt.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Tài liệu tham khảo
Các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về vectơ:
- Sách giáo khoa Toán 10 – Cánh diều
- Sách bài tập Toán 10 – Cánh diều
- Các trang web học toán online uy tín
Kết luận
Hy vọng rằng lời giải chi tiết bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều trên đây sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ. Chúc các em học tập tốt!
