Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Xét khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\)

a) Xác định hệ số của \({x^{10}}\)

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều 1

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}} = C_{21}^0{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{12}} + C_{21}^1{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + ... + C_{21}^k{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{21 - k}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^k} + ... + C_{21}^{21}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21}}\)

Số hạng chứa \({x^{10}}\) ứng với \(21 - k = 10 \Rightarrow k = 11\). Do đó hệ số của \({x^{10}}\) là

\(C_{21}^{11}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}}\)

b) Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\) là \(C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}\)

Như vậy, hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\) là \(C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}\)

Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Tổng quan

Bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học.

Nội dung chi tiết bài 6 trang 37

Bài 6 bao gồm các dạng bài tập sau:

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ. Các em cần nắm vững công thức tính tích vô hướng a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Dạng 2: Xác định góc giữa hai vectơ. Sử dụng công thức cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) để tính góc giữa hai vectơ.
Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng vào việc chứng minh các đẳng thức hình học. Ví dụ, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chứng minh tam giác vuông, v.v.
Dạng 4: Bài toán liên quan đến độ dài vectơ. Sử dụng công thức |a| = √(a.a) để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết bài 6 trang 37

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều:

Câu a)

Đề bài: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính a.b.

Lời giải: a.b = (1)*(-3) + (2)*(4) = -3 + 8 = 5.

Câu b)

Đề bài: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (0; 3). Tính góc θ giữa hai vectơ.

Lời giải: a.b = (2)*(0) + (-1)*(3) = -3. |a| = √(2² + (-1)²) = √5. |b| = √(0² + 3²) = 3. cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = -3 / (3√5) = -1/√5. Suy ra θ = arccos(-1/√5) ≈ 116.57^o.

Câu c)

Đề bài: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 2), C(4; 0). Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

Lời giải: Ta có vectơ BA = (3-1; 2-1) = (2; 1) và vectơ BC = (4-3; 0-2) = (1; -2). Tích vô hướng BA.BC = (2)*(1) + (1)*(-2) = 0. Vì BA.BC = 0 nên hai vectơ BA và BC vuông góc với nhau. Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Mẹo giải bài tập tích vô hướng

Để giải tốt các bài tập về tích vô hướng, các em cần:

Nắm vững các công thức tính tích vô hướng, độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng hình vẽ để minh họa và hiểu rõ bài toán.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tài liệu tham khảo

Các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt hơn về tích vô hướng:

Sách giáo khoa Toán 10 – Cánh diều
Sách bài tập Toán 10 – Cánh diều
Các trang web học toán online uy tín

Kết luận

Bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.