Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 1 - Kết nối tri thức

Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

Ta có:

\(2{y^2} - 3 = \frac{{2{y^2} - 3}}{1}\), \(x + 1 = \frac{{x + 1}}{1}\) nên \(2{y^2} - 3,x + 1\) là phân thức đại số. A, B đúng.

\(\frac{{5 - x}}{{x + 1}}\) (với \(x \ne - 1\)) là phân thức đại số vì \(5 - x,x + 1\) là đa thức và \(x \ne - 1 \Rightarrow x - 1 \ne 0\). C đúng.

\(\frac{{x - 3}}{0}\) không phải phân thức đại số vì mẫu thức phải là một đa thức khác 0. D sai.

Để phân thức xác định thì mẫu thức khác 0.

Phân thức \(\frac{{x + 2}}{{3 - x}}\) xác định khi \(3 - x \ne 0\) hay \(x \ne 3\).

Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ta có: \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}\).

Đưa hai phân thức về cùng mẫu để cộng hai phân thức.

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}}\) \( = \frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{y - 1}}{{x - y}}\) \( = \frac{{x - 1 + y - 1}}{{x - y}}\) \( = \frac{{x + y - 2}}{{x - y}}\).

Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.

Ta có: \(\frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}}:\frac{{10x + 4}}{{{x^2}y}}\)\( = \frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}}.\frac{{{x^2}y}}{{10x + 4}}\)\( = \frac{{\left( {5x + 2} \right).{x^2}y}}{{3x{y^2}.\left( {10x + 4} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {5x + 2} \right){x^2}y}}{{3x{y^2}.2\left( {5x + 2} \right)}}\)\( = \frac{x}{{6y}}\).

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

Xét tam giác ABC và tam giác NPM có:

\(\widehat A = \widehat N\left( { = {{60}^0}} \right)\)

\(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{NM}}\left( {\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2} \right)\)

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta NPM\left( c.g.c \right)$.

Các góc tương ứng bằng nhau là: \(\widehat A = \widehat N;\widehat B = \widehat P;\widehat C = \widehat M\).

\( \Rightarrow \) Cách viết đúng là: $\Delta BAC\backsim \Delta PNM$.

Chứng minh, tính tỉ số của cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác.

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta CID\) có:

\(\widehat {BAI} = \widehat {ICD}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {AIB} = \widehat {CID}\) (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AIB\backsim \Delta CID\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \) Tỉ số k của \(\Delta AIB\) và \(\Delta CID\) là: \(k = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5}\).

Áp dụng định lí Pythagore để tính chiều cao của thang.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông, ta có chiều cao của thang là:

\(\sqrt {{4^2} - {1^2}} = \sqrt {15} \)(m)

a) Tìm điều kiện để các phân thức xác định. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức đại số để rút gọn A.

b) Tìm x thỏa mãn \({x^2} + 3x = 0\). Thay x vừa tìm được để tính giá trị của A.

c) Thay \(A = \frac{1}{2}\) để tìm x.

d) Để A nguyên dương thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức, tử thức và mẫu thức phải cùng dấu.

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right. \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\).

b) Ta có: \({x^2} + 3x = 0\)

\(\begin{array}{l}x\left( {x + 3} \right) = 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x = - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(x = - 3\) vào A, ta được:

\(A = \frac{{ - 4}}{{ - 3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 4\)

Vậy \(A = 4\) tại x thỏa mãn: \({x^2} + 3x = 0\).

c) Để \(A = \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{ - 4}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 4.2 = x + 2\\x + 2 = - 8\\x = - 10\end{array}\)

Vậy \(x = - 10\) thì \(A = \frac{1}{2}\).

d) Để A nguyên dương thì \(\frac{{ - 4}}{{x + 2}}\) nguyên dương suy ra \(- 4 \vdots \left( {x + 2} \right)\) và \(x + 2 < 0\) hay \(\left( {x + 2} \right) \in \) Ước nguyên âm của -4.

Mà ước âm của -4 là: \(\left\{ { - 1; - 2; - 4} \right\}\)

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy các giá trị của x để A nguyên dương là: \(x \in \left\{ { - 6; - 4; - 3} \right\}\).

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian hoàn thành theo kế hoạch, biểu thức biểu thị thời gian hoàn thành thực tế:

Thời gian = tổng số sản phẩm : số sản phẩm làm được trong một ngày.

Biểu thức biểu thị thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch = thời gian theo kế hoạch – thời gian thực tế.

b) Thay x = 40 vào biểu thức biểu thị thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch.

a) Biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc theo kế hoạch là:

\(\frac{{600}}{x}\) (ngày)

Biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc thực tế là:

\(\frac{{600}}{{x + 10}}\) (ngày)

Vậy biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc trước kế hoạch là:

\(\frac{{600}}{x} - \frac{{600}}{{x + 10}}\) (ngày)

b) Vì mỗi ngày họ dự định làm 40 sản phẩm nên \(x = 40\) (sản phẩm).

Thay \(x = 40\) vào biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch, ta được:

\(\frac{{600}}{{40}} - \frac{{600}}{{40 + 10}} = 15 - 12 = 3\) (ngày).

Vậy tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch 3 ngày.

Áp dụng định lí của tam giác bằng nhau, chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta AB'C'$.

Từ đó suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng.

Ta có: \(\widehat B = \widehat {B'} = {90^0} \) suy ra BC // B’C’.

Áp dụng định lí hai tam giác đồng dạng, ta có $\Delta ABC\backsim \Delta AB'C'$.

Do đó \(\frac{{AB}}{{AB'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\)

\(\frac{x}{{x + 20}} = \frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra \( 4x = 3\left( {x + 20} \right)\)

\(4x = 3x + 60\\x = 60\left( m \right)\)

Vậy độ rộng x của khúc sông là 60m.

a) Sử dụng định lí Pythagore đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$

b) Vì M là trung điểm của BC nên tính được MC.

Từ phần a có $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ suy ra tỉ số của các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác để tính MD và CD.

c) Chứng minh $\Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, tính được BE.

Chứng minh \(\Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\) suy ra CE.

a) Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = {18^2} + {24^2} = 900 = {30^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MDC\), ta có:

\(\widehat A = \widehat M\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat C\) chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC nên \(BM = CM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\left( {cm} \right)\)

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{MC}}\)

\(\frac{{18}}{{MD}} = \frac{{30}}{{CD}} = \frac{{24}}{{15}} = \frac{8}{5}\)

\( \Rightarrow MD = 18:\frac{8}{5} = 11,25\)

\(CD = 30:\frac{8}{5} = 18,75\)

c) Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat M = \widehat A\left( { = {{90}^o}} \right)\)

\(\widehat B\) chung

$\Rightarrow \Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{AB}}\)

\(\frac{{BE}}{{30}} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow BE = \frac{5}{6}.30 = 25\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta CME\) có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

\(\widehat {BME} = \widehat {CME}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

ME chung

\( \Rightarrow \Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow BE = CE = 25cm\).