Trắc nghiệm Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số Toán 8 Cánh diều

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{D}{C}\):

\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\) (với \(\frac{C}{D} \ne 0\)).

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\frac{C}{D} \cdot \frac{D}{C} = 1\). Ta nói \(\frac{D}{C}\) là phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) là \(\frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\).

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\frac{{3x + 12}}{{4x - 16}} \cdot \frac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{{4\left( {x - 4} \right)}} \cdot \frac{{2\left( {4 - x} \right)}}{{x + 4}} = \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{{4\left( {x - 4} \right)}} \cdot \frac{{ - 2\left( {x - 4} \right)}}{{x + 4}} = \frac{{ - 3}}{2}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\frac{{4x + 12}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 4}} = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 4}} = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 4}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{4}{{3\left( {x + 4} \right)}}\)

Sử dụng tính chất của phép nhân phân thức:

- Giao hoán: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}\);

- Kết hợp: \(\left( {\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}} \right)\frac{E}{F} = \frac{A}{B}\left( {\frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F}} \right)\)

- Phân phối với phép cộng: \(\frac{A}{B}\left( {\frac{C}{D} + \frac{E}{F}} \right) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F}\)

\(\frac{A}{B} \cdot \frac{B}{A} = \frac{{A.B}}{{B.A}} = 1\) nên A đúng.

\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}\) nên B đúng.

\(\frac{A}{B}\left( {\frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F}} \right) = \left( {\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}} \right)\frac{E}{F} = \left( {\frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}} \right)\frac{E}{F} = \frac{E}{F}\left( {\frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}} \right)\) nên C đúng.

\(\frac{A}{B}\left( {\frac{C}{D} + \frac{E}{F}} \right) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F} \ne \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{E}{F}\) nên D sai.

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}:\frac{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{3}\end{array}\)

Vậy kết quả của phép chia \(\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}}\) có tử thức là \(x - 1\).

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(A:\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)

\(A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = 1\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 3y}}{{4x + 8y}} \cdot A = \frac{{{x^2} - 9{y^2}}}{{x + 2y}}\\A = \frac{{{x^2} - 9{y^2}}}{{x + 2y}}:\frac{{x + 3y}}{{4x + 8y}} = \frac{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}}{{x + 2y}}:\frac{{x + 3y}}{{4\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}}{{x + 2y}} \cdot \frac{{4\left( {x + 2y} \right)}}{{x + 3y}} = 4\left( {x - 3y} \right)\end{array}\)

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}A = \frac{{5x + 10}}{{x - 6}}:\frac{{x - 2}}{{x + 6}} \cdot \frac{{2x - 4}}{{{x^2} - 36}} = \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{x - 6}}:\frac{{x - 2}}{{x + 6}} \cdot \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{x - 6}} \cdot \frac{{x + 6}}{{x - 2}} \cdot \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{10\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}}\end{array}\)

Vậy bạn An sai, bạn Chi đúng.

Rút gọn vế trái sau đó tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\).

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}\frac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}:\frac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}} = \frac{{x + y}}{{{x^2}\left( {x + y} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)}}:\frac{{{x^2} + 2xy - xy - 2{y^2}}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{x + y}}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}:\frac{{x\left( {x + 2y} \right) - y\left( {x + 2y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}:\frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}\\ = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}:\frac{{x + 2y}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x + 2y}} = \frac{{x + y}}{{x + 2y}}\end{array}\)

Vì \(\frac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}:\frac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}} = 2\) nên \(\frac{{x + y}}{{x + 2y}} = 2\)

Suy ra \(x + y = 2x + 4y\) hay \(x = - 3y\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{3}{{x + 2}}\)

\(\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 3 - 2 \Leftrightarrow x = 1\) (t/m)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

Điều kiện: \(x \ne - 6;\,x \ne - 5\,\)

\(\frac{{{x^2} + 10x + 25}}{{x + 6}}:\left( {x + 5} \right) = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{x + 6}}:\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{x + 6}} \cdot \frac{1}{{x + 5}} = \frac{{x + 5}}{{x + 6}} = 1 - \frac{1}{{x + 6}}\)

Để \(\frac{{{x^2} + 10x + 25}}{{x + 6}}:\left( {x + 5} \right)\) nguyên thì \(\left( {x + 6} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 6 = - 1\\x + 6 = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = - 7\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = - 5\,\left( {{\rm{ko}}\,{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy để \(\frac{{{x^2} + 10x + 25}}{{x + 6}}:\left( {x + 5} \right)\) thì \(x = - 7\).

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {xy + yz + x{\rm{z}}} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}:\frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\\ = \frac{{\left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2x{y^2}z + 2xy{z^2} + 2{x^2}yz} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} \cdot \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2x{y^2}z + 2xy{z^2} + 2{x^2}yz}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = \frac{{2xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = \frac{{2xyz}}{{x + y + z}} = \frac{{2xyz}}{{2x}} = yz\end{array}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{{x^2} - {y^2}}}:\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{{x^2} + {y^2} - 2xy}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}:\frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right)}} = \frac{1}{{x + y}}\end{array}\)

Với \(x + y = 5\) ta có \(A = \frac{1}{5}\).

\(\begin{array}{l}B = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}:\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}}:\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot \frac{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = {\left( {x + y} \right)^2}\end{array}\)

Với \(x + y = 5\) ta có \(B = {5^2} = 25\).

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\begin{array}{l}A = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\\ = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3x}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{{3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{3\left( {{x^2} - x + 1 + x} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{3}{{x + 6}}\end{array}\)

Khi \(x = 994\), ta có \(A = \frac{3}{{994 + 6}} = \frac{3}{{1000}}\).

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{*{20}{c}}{A = \frac{{{5^2} - 1}}{{{3^2} - 1}}:\frac{{{9^2} - 1}}{{{7^2} - 1}} :\frac{{{{13}^2} - 1}}{{{{11}^2} - 1}}:...:\frac{{{{55}^2} - 1}}{{{{53}^2} - 1}}}\\\begin{array}{l} = \frac{{{5^2} - 1}}{{{3^2} - 1}} \cdot \frac{{{7^2} - 1}}{{{9^2} - 1}} \cdot \frac{{{{11}^2} - 1}}{{{{13}^2} - 1}}...\frac{{{{53}^2} - 1}}{{{{55}^2} - 1}}\\ = \frac{{4.6}}{{2.4}} \cdot \frac{{6.8}}{{8.10}} \cdot \frac{{10.12}}{{12.14}}...\frac{{52.54}}{{54.56}}\\ = \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{{10}} \cdot \frac{{10}}{{14}}...\frac{{52}}{{56}}\\ = 3 \cdot \frac{6}{{56}} = \frac{9}{{28}}\end{array}\end{array}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(A = \frac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\frac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\frac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} = \frac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}} \cdot \frac{{4{x^2}{y^5}}}{{5{x^2}y}} \cdot \frac{{15{x^5}{y^2}}}{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}} = \frac{{120{x^{10}}{y^9}}}{{ - 40{x^7}{y^8}{z^5}}} = - \frac{{3{x^3}y}}{{{z^5}}}\)

Với \(x = 4,\,y = 1,\,z = - 2\) ta có: \(A = \frac{{ - {{3.4}^3}.1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = 6\)

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Do \(a + b + c = 0 \Rightarrow a = - \left( {b + c} \right)\)

\(\begin{array}{l}4bc - {a^2} = 4bc - {\left[ { - \left( {b + c} \right)} \right]^2} = 4bc - \left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right) = 2bc - {b^2} - {c^2} = - {\left( {b - c} \right)^2}\\bc + 2{a^2} = {a^2} + bc + {a^2} = {a^2} + bc + a\left[ { - \left( {b + c} \right)} \right] = {a^2} + bc - ab - ac\\ = \left( {{a^2} - ab} \right) - \left( {ac - bc} \right) = a\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right) = \left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\\ \Rightarrow \frac{{4bc - {a^2}}}{{bc + 2{a^2}}} = \frac{{ - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}\end{array}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{{4ca - {b^2}}}{{ca + 2{b^2}}} = \frac{{ - {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}};\,\frac{{4ab - {c^2}}}{{ab + 2{c^2}}} = \frac{{ - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\(A = \frac{{4bc - {a^2}}}{{bc + 2{a^2}}} \cdot \frac{{4ca - {b^2}}}{{ca + 2{b^2}}} \cdot \frac{{4ab - {c^2}}}{{ab + 2{c^2}}} = \frac{{ - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}} \cdot \frac{{ - {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \cdot \frac{{ - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 1\)

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{5^2}}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\\ = \frac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}} \cdot \frac{{{4^2} - 1}}{{{4^2}}} \cdot \frac{{{5^2} - 1}}{{{5^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\\ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{2.4}}{{{3^2}}} \cdot \frac{{3.5}}{{{4^2}}} \cdot \frac{{4.6}}{{{5^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}}}\\ = \frac{{1.2.3.4...\left( {n - 1} \right)}}{{2.3.4.5...n}} \cdot \frac{{3.4.5.6...\left( {n + 1} \right)}}{{2.3.4.5...n}}\\ = \frac{1}{n} \cdot \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\end{array}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\{x^2} + 6x \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\\x + 4 \ne 0\\x\left( {x + 6} \right) \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne \pm 4\\x \ne 0\\x \ne - 6\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{{x^2} + 6x}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x - 4}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}\left( {\frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right) = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {{x^2} + 6x} \right) - \left( {x - 4} \right)}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x - x + 4}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4x + x + 4}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x + 4} \right) + \left( {x + 4} \right)}}{{x + 4}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)}} = 0\\\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 0\\x + 3 = 0\\x = - 3\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array}\)

Vậy có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{{x^2} + 6x}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{x - 4}} = 0\).

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(A = \frac{{27 - {x^3}}}{{5x + 5}}:\frac{{2x - 6}}{{3x + 3}} = \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)}} :\frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}} = - \frac{{3\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{10}}\)

\( = - \frac{3}{{10}}\left[ {\left( {{x^2} + 3x + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{27}}{4}} \right] = - \frac{3}{{10}}\left[ {{{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{27}}{4}} \right]\)

Ta có \({\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{27}}{4} \ge \frac{{27}}{4}\forall x\)

\( \Rightarrow \left( { - \frac{3}{{10}}} \right)\left[ {{{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{27}}{4}} \right] \le \left( { - \frac{3}{{10}}} \right)\frac{{27}}{4} = - \frac{{81}}{{40}}\) hay \(A \le - \frac{{81}}{{40}}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{27 - {x^3}}}{{5x + 5}}:\frac{{2x - 6}}{{3x + 3}}\) là \( - \frac{{81}}{{40}}\) khi \(x = - \frac{3}{2}\).

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\begin{array}{l}A = \left( {4{x^2} - 16} \right) \cdot \frac{{7x - 2}}{{3x + 6}} = \frac{{\left( {4{x^2} - 16} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{{3x + 6}} = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{3} = \frac{4}{3}\left( {7{x^2} - 2x - 14x + 4} \right) = \frac{4}{3}\left( {7{x^2} - 16x + 4} \right)\\ = \frac{4}{3}\left[ {{{\left( {\sqrt 7 x} \right)}^2} - 2 \cdot \sqrt 7 x \cdot \frac{8}{{\sqrt 7 }} + {{\left( {\frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)}^2} + 4 - {{\left( {\frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)}^2}} \right]\\ = \frac{4}{3}\left[ {{{\left( {\sqrt 7 x - \frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)}^2} - \frac{{36}}{7}} \right]\end{array}\)

Ta có: \({\left( {\sqrt 7 x - \frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {\sqrt 7 x - \frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)^2} - \frac{{36}}{7} \ge - \frac{{36}}{7}\forall x\)

\(\frac{4}{3}\left[ {{{\left( {\sqrt 7 x - \frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)}^2} - \frac{{36}}{7}} \right] \ge \frac{4}{3} \cdot \left( { - \frac{{36}}{7}} \right) = - \frac{{48}}{7}\) hay \(A \ge - \frac{{48}}{7}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 7 x - \frac{8}{{\sqrt 7 }}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{8}{7}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \left( {4{x^2} - 16} \right) \cdot \frac{{7x - 2}}{{3x + 6}}\) là \( - \frac{{48}}{7}\) khi \(x = \frac{8}{7}\).

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\,\left( {\frac{C}{D} \ne 0} \right)\) ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\).

\(\begin{array}{l}{x^2} + \left( {a - b} \right)x - ab = {x^2} + ax - bx - ab = x\left( {x + a} \right) - b\left( {x + a} \right) = \left( {x - b} \right)\left( {x + a} \right)\\{x^2} - \left( {a - b} \right)x - ab = {x^2} - ax + bx - ab = x\left( {x - a} \right) + b\left( {x - a} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {x - a} \right)\\{x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab = {x^2} - ax - bx + ab = x\left( {x - a} \right) - b\left( {x - a} \right) = \left( {x - b} \right)\left( {x - a} \right)\\{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab = {x^2} + ax + bx + ab = x\left( {x + a} \right) + b\left( {x + a} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {x + a} \right)\\{x^2} - \left( {b - 1} \right)x - b = {x^2} - bx + x - b = x\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - b} \right)\\{x^2} + \left( {b + 1} \right)x + b = {x^2} + bx + x + b = x\left( {x + b} \right) + \left( {x + b} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + b} \right)\\{x^2} - \left( {b + 1} \right)x + b = {x^2} - bx - x + b = x\left( {x - b} \right) - \left( {x - b} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right)\\{x^2} - \left( {1 - b} \right)x - b = {x^2} - x + bx - b = x\left( {x - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {x - 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\frac{{{x^2} + \left( {a - b} \right)x - ab}}{{{x^2} - \left( {a - b} \right)x - ab}} \cdot \frac{{{x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab}}{{{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab}}} \right]:\left[ {\frac{{{x^2} - \left( {b - 1} \right)x - b}}{{{x^2} + \left( {b + 1} \right)x + b}} \cdot \frac{{{x^2} - \left( {b + 1} \right)x + b}}{{{x^2} - \left( {1 - b} \right)x - b}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x + a} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x - a} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + b} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}}:\frac{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}} = 1\end{array}\)

Sử dụng công thức \(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\).

\(\begin{array}{l}\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{5^2}}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}} \cdot \frac{{{4^2} - 1}}{{{4^2}}} \cdot \frac{{{5^2} - 1}}{{{5^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\\ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{2.4}}{{{3^2}}} \cdot \frac{{3.5}}{{{4^2}}} \cdot \frac{{4.6}}{{{5^2}}} \cdot \cdot \cdot \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}}} = \frac{{1.2.3.4...\left( {n - 1} \right)}}{{2.3.4.5...n}} \cdot \frac{{3.4.5.6...\left( {n + 1} \right)}}{{2.3.4.5...n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\end{array}\)Áp dụng với \(n = 2010\) ta có:

\(A = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{{2010}^2}}}} \right) = \frac{{2010 + 1}}{{2.2010}} = \frac{{2011}}{{4020}}\)

Sử dụng công thức: \(1 - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Ta có: \(1 - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n - n - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{n\left( {n + 2} \right) - \left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)\(\begin{array}{l}\left( {1 - \frac{2}{6}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{12}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left[ {1 - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \frac{{1.4}}{{2.3}} \cdot \frac{{2.5}}{{3.4}} \cdot \frac{{3.6}}{{4.5}} \cdot \cdot \cdot \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{1.2.3...\left( {n - 1} \right)}}{{2.3.4...n}} \cdot \frac{{4.5.6...\left( {n + 2} \right)}}{{3.4.5...\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{n + 2}}{3} = \frac{{n + 2}}{{3n}}\\ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{n + 2}}{n}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{2}{n}} \right) > \frac{1}{3}\left( {1 + 0} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 < \frac{2}{n} \le 1\forall n \ge 2} \right)\end{array}\)

Sử dụng công thức \(1 + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n\left( {n + 2} \right)}}\).

\(1 + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n\left( {n + 2} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \frac{1}{{1.3}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2.4}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{3.5}}} \right) \cdot \cdot \cdot \left[ {1 + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{{2^2}}}{{1.3}} \cdot \frac{{{3^2}}}{{2.4}} \cdot \frac{{{4^2}}}{{3.5}} \cdot \cdot \cdot \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{2.3.4...\left( {n + 1} \right)}}{{1.2.3...n}} \cdot \frac{{2.3.4...\left( {n + 1} \right)}}{{3.4.5...\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{{n + 1}}{1} \cdot \frac{2}{{n + 2}} = 2 \cdot \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{n + 2}}} \right) < 2\left( {1 - 0} \right) = 2\left( {\frac{1}{{n + 2}} > 0\forall n \ge 1} \right)\end{array}\)