Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 28 trong sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu hai loại đường tròn đặc biệt liên quan đến một tam giác: đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Việc hiểu rõ tính chất và cách xác định các đường tròn này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác.

1. Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp được gọi là bán kính ngoại tiếp, ký hiệu là R.

• Tính chất:
  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác.
  • Góc ở tâm tạo bởi hai đỉnh của tam giác bằng hai lần góc ở đỉnh đối diện trên đường tròn.
• Cách xác định:
  • Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ của tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực này là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
  • Khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kỳ của tam giác là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

2. Đường tròn nội tiếp của một tam giác

Đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp được gọi là bán kính nội tiếp, ký hiệu là r.

• Tính chất:
  • Tâm của đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác.
  • Đường tròn nội tiếp nằm hoàn toàn bên trong tam giác.
• Cách xác định:
  • Vẽ các đường phân giác của hai góc bất kỳ của tam giác. Giao điểm của hai đường phân giác này là tâm của đường tròn nội tiếp.
  • Từ tâm, kẻ đường vuông góc đến một cạnh bất kỳ của tam giác. Độ dài đoạn vuông góc này là bán kính của đường tròn nội tiếp.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Trong một tam giác, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có mối quan hệ mật thiết với nhau. Chúng đều liên quan đến các yếu tố hình học của tam giác như đỉnh, cạnh, góc và bán kính. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền. Do đó, R = BC/2 = 5/2 = 2.5cm.
• Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (AB + AC - BC)/2 = (3 + 4 - 5)/2 = 1cm.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, CA = 7cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC:

p = (AB + BC + CA)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9cm

S = √(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)) = √(9(9-5)(9-6)(9-7)) = √(9*4*3*2) = 6√6 cm²

r = S/p = (6√6)/9 = (2√6)/3 cm

5. Kết luận

Bài 28 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và cách xác định các đường tròn này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình Toán 9. Hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và bài tập ví dụ minh họa, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về bài học này.