THCS
THCS
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải các bài toán thường gặp trong chương trình Toán 9 liên quan đến việc lập hệ phương trình để giải quyết các bài toán về công việc làm chung, làm riêng hoặc các bài toán về tốc độ chảy, đổ.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích cấu trúc bài toán, xác định ẩn số, lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đó để tìm ra đáp án chính xác. Mục tiêu là giúp bạn nắm vững phương pháp và tự tin giải quyết mọi dạng bài tập tương tự.
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Công thức cần nhớ:
Công việc = năng suất x thời gian
Lưu ý:
- Toán chung công việc có ba đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần công việc trong một đơn vị thời gian và thời gian.
- Nếu một đội làm xong công việc trong \(x\) ngày thì một ngày đội đó làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1 = 100%.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.
Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).
Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất
Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm
Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý:
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9. Dạng toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến công việc hoặc tốc độ.
Để giải bài toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) bằng phương pháp lập hệ phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Hai người cùng làm một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì mất 6 giờ mới xong công việc. Nếu người thứ hai làm một mình thì mất 8 giờ mới xong công việc. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì mất bao lâu mới xong công việc?
Giải:
Ta có hệ phương trình:
| Người 1 | Người 2 | |
|---|---|---|
| Thời gian làm việc | 6 | 8 |
| Năng suất | x | y |
| Công việc hoàn thành | 6x = 1 | 8y = 1 |
Giải hệ phương trình, ta được: x = 1/6 và y = 1/8.
Nếu cả hai người cùng làm, năng suất tổng cộng là x + y = 1/6 + 1/8 = 7/24 (công việc/giờ).
Thời gian để cả hai người cùng làm xong công việc là: 1 / (7/24) = 24/7 giờ.
Ví dụ 2: Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Sau 5 giờ thì bể đầy. Một vòi nước khác chảy ra khỏi bể đó. Sau 8 giờ thì bể cạn. Hỏi nếu cả hai vòi cùng chảy thì sau bao lâu bể đầy?
(Giải tương tự như ví dụ 1, chỉ thay đổi cách diễn đạt bài toán)
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) là một ứng dụng quan trọng của hệ phương trình trong thực tế. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều vấn đề thực tế một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
