THCS
THCS
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất thỏa mãn một điều kiện cho trước. Đây là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hệ phương trình và các phương pháp giải.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các bước giải, các dạng bài tập thường gặp và các lưu ý quan trọng để đạt kết quả tốt nhất. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).
+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.
+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện.
+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 6: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Hệ phương trình bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 9. Việc tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn một điều kiện cho trước là một bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về cách giải quyết bài toán này.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững một số kiến thức cơ bản:
Có nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến việc tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Dưới đây là một số dạng phổ biến:
Nếu hệ phương trình có nghiệm kép, thì phương trình bậc hai trong hệ phải có nghiệm kép. Điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép là Δ = b2 - 4ac = 0.
Trong trường hợp này, chúng ta cần giải hệ phương trình để tìm ra mối liên hệ giữa x, y và m. Sau đó, thay điều kiện cho trước vào để tìm ra giá trị của m.
Nếu nghiệm duy nhất của hệ phương trình thuộc một đường thẳng cho trước, thì tọa độ của nghiệm đó phải thỏa mãn phương trình của đường thẳng.
Để giải các bài tập về tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{ x + y = 2
{ x2 + y2 = 2
Giải:
Từ phương trình đầu tiên, ta có y = 2 - x. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x2 + (2 - x)2 = 2
x2 + 4 - 4x + x2 = 2
2x2 - 4x + 2 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
Khi đó, y = 2 - 1 = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1) khi m không có giá trị cụ thể (vì hệ đã cho không chứa tham số m).
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 3:
{ x - y = 1
{ mx + y = 2
Giải:
Giải hệ phương trình đầu tiên, ta được x = 2, y = 1. Thay vào phương trình thứ hai, ta có:
2m + 1 = 2
2m = 1
m = 1/2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 3 khi m = 1/2.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập về tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán 9. Chúc bạn học tập tốt!
