Cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm của hai phương trình - Toán 9
Học cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết Cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm của hai phương trình - Toán 9. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách biểu diễn mỗi phương trình trên mặt phẳng tọa độ và tìm giao điểm của hai đường thẳng để xác định nghiệm của hệ.
Phương pháp này không chỉ giúp bạn hiểu rõ bản chất của nghiệm hệ phương trình mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy hình học, một kỹ năng quan trọng trong toán học.
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
2. Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
3. Cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm của hai phương trình
Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) (*) là một nghiệm chung của hai phương trình trong (*). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\) và \(\Delta ':a'x + b'y = c'\), tức là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\). Do đó ta có thể giải hệ (*) bằng cách vẽ hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) rồi tìm toạ độ điểm chung của chúng. Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau (có một điểm chung). Hệ (*) có một nghiệm duy nhất.
2) \(\Delta \) và \(\Delta '\) song song với nhau (không có điểm chung). Hệ (*) vô nghiệm.
3) \(\Delta \) và \(\Delta '\) trùng nhau (mỗi điểm của \(\Delta \) đều là điểm chung). Hệ (*) có vô số nghiệm.Cách Xác Định Nghiệm Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Thông Qua Biểu Diễn Hình Học Nghiệm - Toán 9
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững phương pháp giải hệ phương trình này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
1. Khái Niệm Cơ Bản
Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
- ax + by = c
- a'x + b'y = c'
Trong đó, a, b, a', b', c, c' là các số thực và a, b, a', b' không đồng thời bằng 0.
2. Biểu Diễn Hình Học Nghiệm của Một Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c đều biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Để vẽ đường thẳng này, ta cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng. Có thể chọn x = 0 để tìm y, hoặc y = 0 để tìm x.
Ví dụ: Xét phương trình 2x + y = 4. Ta có:
- Khi x = 0, y = 4. Điểm A(0, 4) thuộc đường thẳng.
- Khi y = 0, x = 2. Điểm B(2, 0) thuộc đường thẳng.
Nối hai điểm A và B, ta được đường thẳng biểu diễn phương trình 2x + y = 4.
3. Nghiệm của Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn và Giao Điểm của Hai Đường Thẳng
Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là giá trị của x và y thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình trong hệ. Về mặt hình học, nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trong hệ.
4. Các Trường Hợp Xảy Ra
Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị, có ba trường hợp có thể xảy ra:
- Hai đường thẳng cắt nhau: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
- Hai đường thẳng song song: Hệ phương trình vô nghiệm.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Hệ phương trình có vô số nghiệm.
5. Ví Dụ Minh Họa
Xét hệ phương trình sau:
- x + y = 3
- 2x - y = 0
Biểu diễn hai phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
- x + y = 3: Điểm A(0, 3), B(3, 0)
- 2x - y = 0: Điểm C(0, 0), D(1, 2)
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I(1, 2). Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 1, y = 2.
6. Ưu Điểm và Nhược Điểm của Phương Pháp Đồ Thị
Ưu điểm:
- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất hình học của nghiệm hệ phương trình.
- Rèn luyện kỹ năng tư duy hình học.
Nhược điểm:
- Độ chính xác không cao, đặc biệt khi hệ phương trình có nghiệm không nguyên.
- Tốn thời gian vẽ đồ thị.
7. Luyện Tập
Để nắm vững kiến thức về cách xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm, các em học sinh cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Các bài tập nên bao gồm các trường hợp khác nhau về số nghiệm của hệ phương trình.
8. Kết Luận
Cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm của hai phương trình - Toán 9 là một phương pháp quan trọng và hữu ích. Việc hiểu rõ và áp dụng thành thạo phương pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn.
