THCS
THCS
Bài học này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định mối liên hệ giữa hai ẩn số trong các bài toán Toán 9, đặc biệt là khi mối liên hệ này không phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Đây là một kỹ năng quan trọng giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các ví dụ điển hình, áp dụng các phương pháp giải toán hiệu quả và rèn luyện kỹ năng thông qua các bài tập thực hành.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\):
- Hê phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\).
- Hệ phương trình vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\).
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)+ Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất.
+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế để làm mất tham số m.
+ Bước 3: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trong chương trình Toán 9, việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn số là một kỹ năng quan trọng. Đặc biệt, khi bài toán có chứa tham số, việc xác định mối liên hệ không phụ thuộc vào tham số đó đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức và kỹ năng giải toán.
Có nhiều dạng bài toán liên quan đến việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m. Dưới đây là một số dạng phổ biến:
Trong dạng này, chúng ta thường gặp các hệ phương trình hai ẩn với một tham số. Mục tiêu là tìm mối liên hệ giữa hai ẩn sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm, không phụ thuộc vào giá trị của tham số.
Khi giải phương trình bậc hai, chúng ta có thể tìm mối liên hệ giữa các hệ số để phương trình có nghiệm kép hoặc nghiệm phân biệt, không phụ thuộc vào tham số.
Trong các bài toán về bất đẳng thức, chúng ta có thể tìm mối liên hệ giữa các biến số để bất đẳng thức luôn đúng hoặc luôn sai, không phụ thuộc vào tham số.
Để giải các bài toán tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau:
{ ax + by = c { bx + ay = d
Tìm điều kiện của a, b, c, d để hệ phương trình có nghiệm duy nhất không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
Giải: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
a2 + b2 ≠ 0
Điều kiện này không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai:
x2 + 2(m-1)x + m2 - 3m + 2 = 0
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép không phụ thuộc vào giá trị của x.
Giải: Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi delta = 0:
Δ = [2(m-1)]2 - 4(m2 - 3m + 2) = 0
4(m2 - 2m + 1) - 4(m2 - 3m + 2) = 0
4m2 - 8m + 4 - 4m2 + 12m - 8 = 0
4m - 4 = 0
m = 1
Vậy, phương trình có nghiệm kép khi m = 1, không phụ thuộc vào giá trị của x.
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:
{ x + my = 1, mx + y = 1x2 - 2(m+1)x + m2 + 2m = 0 có nghiệm kép.x2 + 2mx + m + 1 > 0 đúng với mọi x.Việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m là một kỹ năng quan trọng trong Toán 9. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải toán và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin.
