THCS
THCS
Hệ phương trình là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc dự đoán số nghiệm của hệ phương trình không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của bài toán mà còn hỗ trợ trong việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và các phương pháp hiệu quả để dự đoán số nghiệm của hệ phương trình, giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài tập Toán 9.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\):
- Hê phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\).
- Hệ phương trình vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\).
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)Hệ phương trình bậc hai là hệ phương trình mà các phương trình thành phần đều là phương trình bậc hai. Dạng tổng quát của hệ phương trình bậc hai là:
{ a1x2 + b1xy + c1y2 + d1x + e1y + f1 = 0 a2x2 + b2xy + c2y2 + d2x + e2y + f2 = 0 }
Việc giải hệ phương trình bậc hai thường phức tạp hơn so với hệ phương trình bậc nhất. Do đó, việc dự đoán số nghiệm của hệ phương trình là một bước quan trọng để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Đối với hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình bậc nhất), ta có thể sử dụng định thức để xác định số nghiệm. Tuy nhiên, phương pháp này không áp dụng trực tiếp cho hệ phương trình bậc hai.
Nếu hệ phương trình có dạng:
{ ax2 + bx + c = 0 dx + e = 0 }
Ta có thể giải phương trình dx + e = 0 để tìm x, sau đó thay giá trị x vào phương trình ax2 + bx + c = 0 để kiểm tra xem phương trình bậc hai có nghiệm hay không. Nếu phương trình bậc hai có nghiệm, hệ phương trình có nghiệm. Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm, hệ phương trình vô nghiệm.
Đôi khi, ta có thể biến đổi hệ phương trình để đưa về dạng quen thuộc, từ đó dễ dàng dự đoán số nghiệm. Ví dụ, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử một ẩn và đưa hệ phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn.
Vẽ đồ thị của các phương trình thành phần của hệ phương trình. Số giao điểm của các đồ thị chính là số nghiệm của hệ phương trình.
Hệ phương trình bậc nhất có dạng:
{ a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 }
Để dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất, ta có thể sử dụng công thức sau:
D = a1b2 - a2b1
Ví dụ 1: Xét hệ phương trình:
{ x + y = 5 2x - y = 1 }
Ta có D = 1*(-1) - 2*1 = -3 ≠ 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Xét hệ phương trình:
{ x + y = 2 2x + 2y = 5 }
Ta có D = 1*2 - 2*1 = 0 và 1*5 - 2*2 = 1 ≠ 0. Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về cách dự đoán số nghiệm của hệ phương trình:
Việc dự đoán số nghiệm của hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng trong quá trình học Toán 9. Bằng cách nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể tự tin hơn khi giải các bài tập và hiểu sâu hơn về bản chất của bài toán.
