Trắc nghiệm Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức

Loại đáp án B, C, D vì khi ta thay \(x = 2\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

\({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {100 - 1} \right)^2} = {99^2}\) suy ra \(a = 100,\,b = 1\)

\(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right) \\= 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \\= - 15x + 1\)

Áp dụng hai hằng đẳng thức:

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}; \\{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

đưa về dạng tìm \(x\) đã biết (chú ý đằng trước ngoặc đơn có dấu trừ, khi phá ngoặc phải đổi dấu toàn bộ các hạng tử trong ngoặc).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9 \\{x^2} - {6^2} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9\\ {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 = 9\\ - 6x = 9 + 9 + 36 \\ - 6x = 54\\ x = - 9\end{array}\)

Ta có\({\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0 \\ \left[ {\left( {3x - 4} \right) - \left( {2x - 1} \right)} \right].\left[ {\left( {3x - 4} \right) + \left( {2x - 1} \right)} \right] = 0\\ \left( {3x - 4 - 2x + 1} \right)\left( {3x - 4 + 2x - 1} \right) = 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {5x - 5} \right) = 0\)

Suy ra x - 3 = 0 hoặc 5x - 5 = 0x = 3 hoặc 5x = 5x = 3 hoặc x = 1

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn.

Vì \({2016^2} - 1 < {2016^2} \Rightarrow \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a < {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\)

\( \Rightarrow 2015.2017.a < {2016^2}.a\) hay \(P < Q\)

\(\begin{array}{l} {\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {3x} \right)}^2}\;-2.3x.1 + {1^2}\; + 2\left( {{x^2}\; + 6x + 9} \right) + 11\left( {1-{x^2}} \right)}\\{ = 9{x^2}\;-6x + 1 + 2{x^2}\; + 12x + 18 + 11-11{x^2}\;}\\\begin{array}{l} = \left( {9{x^2}\; + 2{x^2}\;-11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right){{ + }}\left( {1 + 18 + 11} \right)\\ = 6x + 30\end{array}\end{array}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 6; b = 30\)

\(N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 20x + 25 + 25{x^2} - 20x + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)

Ta thấy: \(29 = 14.2 + 1 \Rightarrow N = 14M + 1\)

\(\begin{array}{l}T = {x^2} + 20x + 101 = \left( {{x^2} + 2.10x + 100} \right) + 1 = {\left( {x + 10} \right)^2} + 1 \ge 1 \left( {{{\left( {x + 10} \right)}^2} \ge 0, \forall x} \right)\\ \Rightarrow T \ge 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {{x^2}\;-2x + 1} \right)-4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = 2{x^2}\;-4x + 2-36-24x-4{x^2}\; + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = \left( {2{x^2}\; + 2{x^2}\;-4{x^2}} \right) + \left( { - 4x-24x + 28x} \right) + 2-36}\\{ = - 34}\end{array}\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(A + B = 0\) .

Ta có \(\;Q = 8-8x-{x^2} = -{x^2}-8x - 16 + 16 + 8 = - \left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 24 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24\)

Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị x nên \( - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0 \) với mọi giá trị x .

Do đó \(- {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \le 24\) với mọi x

Dấu = xảy ra khi \(x + 4 = 0\) hay \( x = - 4\) . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 24 khi \(x = - 4\) .

\(\begin{array}{l}\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - x - 5} \right)\left( {2x + 1 + x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {3x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\3x + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\3x = - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 4\) . Vậy bội của 4 là \(24\) .

Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) .

\({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5 = \left( {{x^2}-8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12 = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12\)

Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\forall x;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\forall y \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\forall x,y\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( - 12\) khi \(x = 4;y = - 1 \Rightarrow x + 2y = 4 + 2.\left( { - 1} \right) = 2\)

Dấu = xảy ra khi \(x = 0\) .

Nhớ lại căn bậc hai số học của một số không âm \(a\) có dạng \(\sqrt a \) .

Ta có

\(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right) \)

\(= 9{x^2} - 6x + 1 + 9{x^2} + 6x + 1 + 18{x^2} + 14 \)

\(= 36{x^2} + 16 \ge 16\) (vì \(( {x^2} \ge 0 \) suy ra \(36{x^2} \ge 0 \))

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 0\), suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(16\) khi \(x = 0 \) hay \( b = 0\) .

Căn bậc hai số học của 0 là 0.

Áp dụng công thức tính tổng n số tự nhiên liên tiếp \(1,2,3,...,n\) là \(\frac{{1 + n}}{2}.n\)

\(\begin{array}{l}M - N = \left( {{{79}^2} + {{77}^2} + {{75}^2} + ... + {3^2} + {1^2}} \right) - \left( {{{78}^2} + {{76}^2} + {{74}^2} + ... + {2^2}} \right)\\ = \left( {{{79}^2} - {{78}^2}} \right) + \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\\ = \left( {79 - 78} \right)\left( {79 + 78} \right) + \left( {77 - 76} \right)\left( {77 + 76} \right) + \left( {75 - 74} \right)\left( {75 + 74} \right) + ... + \left( {3 - 2} \right)\left( {3 + 2} \right) + 1\\ = 79 + 78 + 77 + 76 + 75 + 74 + ... + 3 + 2 + 1\\ = \frac{{79 + 1}}{2}.79 = 3160\\ \Rightarrow \frac{{M - N}}{2} = \frac{{3160}}{2} = 1580\end{array}\)

\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2BC + 2CA;{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) .

Sử dụng \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ge 0\forall A,B,C\) . Dấu = xảy ra khi \(A = B = C = 0\)

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ca + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array}\)

Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\forall a,b,c\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\) .

Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) .

Ta có

\(\begin{array}{l}T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\\ = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\end{array}\)

Ta thấy \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 4 + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 1 + 4\\ \Rightarrow T \ge 5\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(5\) khi \(x = - 2\)