THCS
THCS
montoan.com.vn xin giới thiệu Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Kết nối tri thức, một công cụ hỗ trợ học sinh ôn luyện và đánh giá năng lực bản thân trước kỳ thi quan trọng. Đề thi được biên soạn bám sát chương trình học, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với trình độ học sinh.
Đề thi này không chỉ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và áp dụng kiến thức đã học vào thực tế.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Tam giác ABC có \(BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.\) Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên \(\left( {cm} \right)\).
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 9cm
Câu 2. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là B = {1; 2; 3; … ; 29,30}. Tính xác suất để kết quả rút ra là một thẻ có số chia hết cho 3
A. 6
B. 30
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{3}\)
Câu 3. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;{\mkern 1mu} \angle B;{\mkern 1mu} \angle C\) theo thứ tự là:
A. \(\angle B < \angle C < \angle A\)
B. \(\angle C < \angle A < \angle B\)
C. \(\angle A > \angle B > \angle C\
D. \(\angle C < \angle B < \angle A\)
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số \(0\) không phải là một đa thức.
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng.
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng \(0\)
Câu 5. Nghiệm của đa thức: \(P\left( x \right) = 15x - 3\) là:
A. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\)
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(5\)
D. \( - 5\)
Câu 6. Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều có cạnh bằng \(3cm\), chiều cao hình lăng trụ bằng \(10cm\). Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó là:
A. \(30c{m^2}\)
B. \(90c{m^2}\)
C. \(90c{m^3}\)
D. \(13c{m^2}\)
Câu 7. Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là:
A. \(7\)
B. \(8\)
C. \(15\)
D. \(10\)
Câu 8. Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là 2025 thì đại lượng \(x\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(y\) theo hệ số tỉ lệ là:
A. \( - \dfrac{1}{{2025}}\)
B. \(2025\)
C. \(\dfrac{1}{{2025}}\)
D. \( - 2025\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (0,75 điểm) Phần bên trong của một cái khuôn làm bánh (không có nắp) có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh là \(20\,cm,\) chiều cao \(5\,cm.\) Người ta dự định sơn phần bên trong bằng loại sơn không dính. Hỏi với một lượng sơn đủ bao phủ được \(100\,{m^2}\) thì sơn được bao nhiêu cái khuôn làm bánh?
Bài 2. (1,5 điểm) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc \(A\) đến \(B\). Xe thứ nhất đi từ \(A\) đến \(B\) hết \(6\) giờ, xe thứ hai đi từ \(B\) đến \(A\) hết \(3\)giờ. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đã đi được một quãng đường dài hơn xe thứ nhất đã đi là \(54\) km. Tính quãng đường \(AB\).
Bài 3. (2,25 điểm) Cho các đa thức sau:
\(P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)
\(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.
b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).
c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\).
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Bài 5. (0,5 điểm) Cho \(a,\,b,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)
I. Trắc nghiệm
1. C | 2. D | 3. B | 4. B |
5. B | 6. B | 7. B | 8. C |
Câu 1.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại. Cách giải:
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}\)
ChọnC.
Câu 2.
Phương pháp:
Tìm các số chia hết cho 3 từ 0 đến 30
Cách giải:
Các số chia hết cho 3 từ tập B = {1; 2; 3; … ; 29,30} là 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30
=> Có tất cả 10 số chia hết cho 3.
Vậy xác suất để thẻ rút ra là số chia hết cho 3 là: \(\dfrac{{10}}{{30}} = \dfrac{1}{3}\)
Chọn D.
Câu 3.
Phương pháp:
So sánh độ dài các cạnh rồi dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác để so sánh các góc với nhau. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc lớn hơn. Cách giải:
\(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\)
Ta có: \(AB < BC < AC\) \( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
ChọnB.
Câu 4.
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa về đa thức và tính chất tam giác cân. Cách giải:
Xét từng đáp án:
A. Số \(0\) không phải là một đa thức. Sai Vì số 0 là đa thức 0
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng. Đúng: (vẽ một tam giác cân và xác định trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh ta thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng)
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn. Sai Vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng 0. Sai Vì số 0 được gọi là đa thức không và nó là đa thức không có bậc.
Chọn B
Câu 5.
Phương pháp:
Tìm nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), ta giải phương trình \(P\left( x \right) = 0\)
Cách giải:
Ta có: \(P\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}15x - 3 = 0\\15x = 3\\\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 15x - 3\)
Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:
+ Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C\)đáy \(.h\)
Cách giải:
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = \left( {3 + 3 + 3} \right).10 = 9.10 = 90\left( {c{m^2}} \right)\)
Chọn B.
Câu 7.
Phương pháp:
Phương pháp:
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Cách giải:
Ta có: hạng tử \({x^8}\) là có bậc cao nhất
\( \Rightarrow \) Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là: \(8\)
Câu 8.
Phương pháp:
Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) thì ta có công thức: \(y = kx\)
Cách giải:
Vì đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là 2025 nên ta có công thức: \(y = 2025x\)
Từ đó suy ra \(x = \dfrac{1}{{2025}}y\)
Do đó, đại lượng \(x\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{{2025}}\).
Chọn C.
Chú ý: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{k}\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.
Chú ý: Phải đưa về cùng đơn vị đo
Bước 1: Đổi \(100{m^2} = 1000000c{m^2}\)
Bước 2: Tính diện tích xung quanh của khuôn
Bước 3: Tính diện tích cần sơn của một khuôn
Bước 4: Tính số khuôn sơn được
Cách giải:
Đổi \(100{m^2} = 1000000c{m^2}\)
Diện tích xung quanh của chiếc khuôn là: \({S_{xq}} = 2.\left( {20 + 20} \right).5 = 400\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích cần được sơn của một chiếc khuôn là: \(S' = {S_{xq}} + S = 400 + \left( {20.20} \right) = 800\left( {c{m^2}} \right)\)
Số chiếc khuôn được sơn là: \(1000000:800 = 1250\)(chiếc)
Bài 2.
Phương pháp:
+ Thời gian và vận tốc của một phương tiện đi trên một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
+ Sử dụng tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch: \({x_1}.{y_1} = {x_2}.{y_2}\)
+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{c - a}}{{d - b}}\)
Cách giải:
Gọi quãng đường của xe thứ nhất đi được từ \(A\) đến chỗ gặp là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\)
Gọi quãng đường của xe thứ hai đi được từ \(B\) đến chỗ gặp là \(y\) (km) \(\left( {y > 0} \right)\)
Vì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(6x = 3y\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6}\)
Quãng đường đi được của xe thứ hai dài hơn xe thứ nhất \(54\) km nên \(y - x = 54\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{{y - x}}{{6 - 3}} = \dfrac{{54}}{3} = 18\)
Do đó \(\dfrac{x}{3} = 18 \Rightarrow x = 54\) (thỏa mãn)
\(\dfrac{y}{6} = 18 \Rightarrow y = 108\) (thỏa mãn)
Quãng đường \(AB\) dài là \(54 + 108 = 162\) (km)
Vậy quãng đường \(AB\) dài là \(162\) (km).
Bài 3.
Phương pháp:
+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.
+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.
Cách giải:
a)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)
Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)
\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)
Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\dfrac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)
b)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)
\( = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2\)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \dfrac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)
c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)
Bài 4.
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh. Cách giải:
a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.
Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.
Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB - BM + CN = 2AB\).
\( \Leftrightarrow - BM + CN = 0 \Leftrightarrow BM = CN\)
b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC nên ta có:
\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M nên MB = ME. Do đó, ME = CN.
Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)
Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.
c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:
MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)
IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).
Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác ABK và ACK có:
AB = AC(gt),
\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),
AK là cạnh chung,
Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).
Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác BKM và CKN có:
MB = CN, BK = KN, MK = KC,
Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).
Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)
Bài 5.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
- Trường hợp \(1:\,a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c;\,\,a + c = - b;\,\,b + c = - a\) thay vảo biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{ - c.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right)}}{{abc}} = - 1.\)
- Trường hợp 2: \(a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a} = \dfrac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}} = 1\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\c + a = 2b\\b + c = 2a\end{array} \right.\) thay vào biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{2c.2a.2b}}{{abc}} = 8\)
Vậy: \(S = - 1\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c = 0\)
\(S = 8\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c \ne 0\).
Tải về
I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Tam giác ABC có \(BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.\) Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên \(\left( {cm} \right)\).
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 9cm
Câu 2. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là B = {1; 2; 3; … ; 29,30}. Tính xác suất để kết quả rút ra là một thẻ có số chia hết cho 3
A. 6
B. 30
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{3}\)
Câu 3. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;{\mkern 1mu} \angle B;{\mkern 1mu} \angle C\) theo thứ tự là:
A. \(\angle B < \angle C < \angle A\)
B. \(\angle C < \angle A < \angle B\)
C. \(\angle A > \angle B > \angle C\
D. \(\angle C < \angle B < \angle A\)
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số \(0\) không phải là một đa thức.
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng.
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng \(0\)
Câu 5. Nghiệm của đa thức: \(P\left( x \right) = 15x - 3\) là:
A. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\)
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(5\)
D. \( - 5\)
Câu 6. Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều có cạnh bằng \(3cm\), chiều cao hình lăng trụ bằng \(10cm\). Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó là:
A. \(30c{m^2}\)
B. \(90c{m^2}\)
C. \(90c{m^3}\)
D. \(13c{m^2}\)
Câu 7. Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là:
A. \(7\)
B. \(8\)
C. \(15\)
D. \(10\)
Câu 8. Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là 2025 thì đại lượng \(x\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(y\) theo hệ số tỉ lệ là:
A. \( - \dfrac{1}{{2025}}\)
B. \(2025\)
C. \(\dfrac{1}{{2025}}\)
D. \( - 2025\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (0,75 điểm) Phần bên trong của một cái khuôn làm bánh (không có nắp) có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh là \(20\,cm,\) chiều cao \(5\,cm.\) Người ta dự định sơn phần bên trong bằng loại sơn không dính. Hỏi với một lượng sơn đủ bao phủ được \(100\,{m^2}\) thì sơn được bao nhiêu cái khuôn làm bánh?
Bài 2. (1,5 điểm) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc \(A\) đến \(B\). Xe thứ nhất đi từ \(A\) đến \(B\) hết \(6\) giờ, xe thứ hai đi từ \(B\) đến \(A\) hết \(3\)giờ. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đã đi được một quãng đường dài hơn xe thứ nhất đã đi là \(54\) km. Tính quãng đường \(AB\).
Bài 3. (2,25 điểm) Cho các đa thức sau:
\(P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)
\(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.
b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).
c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\).
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Bài 5. (0,5 điểm) Cho \(a,\,b,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)
I. Trắc nghiệm
1. C | 2. D | 3. B | 4. B |
5. B | 6. B | 7. B | 8. C |
Câu 1.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại. Cách giải:
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}\)
ChọnC.
Câu 2.
Phương pháp:
Tìm các số chia hết cho 3 từ 0 đến 30
Cách giải:
Các số chia hết cho 3 từ tập B = {1; 2; 3; … ; 29,30} là 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30
=> Có tất cả 10 số chia hết cho 3.
Vậy xác suất để thẻ rút ra là số chia hết cho 3 là: \(\dfrac{{10}}{{30}} = \dfrac{1}{3}\)
Chọn D.
Câu 3.
Phương pháp:
So sánh độ dài các cạnh rồi dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác để so sánh các góc với nhau. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc lớn hơn. Cách giải:
\(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\)
Ta có: \(AB < BC < AC\) \( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
ChọnB.
Câu 4.
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa về đa thức và tính chất tam giác cân. Cách giải:
Xét từng đáp án:
A. Số \(0\) không phải là một đa thức. Sai Vì số 0 là đa thức 0
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng. Đúng: (vẽ một tam giác cân và xác định trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh ta thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng)
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn. Sai Vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng 0. Sai Vì số 0 được gọi là đa thức không và nó là đa thức không có bậc.
Chọn B
Câu 5.
Phương pháp:
Tìm nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), ta giải phương trình \(P\left( x \right) = 0\)
Cách giải:
Ta có: \(P\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}15x - 3 = 0\\15x = 3\\\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 15x - 3\)
Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:
+ Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \({S_{xq}} = C\)đáy \(.h\)
Cách giải:
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = \left( {3 + 3 + 3} \right).10 = 9.10 = 90\left( {c{m^2}} \right)\)
Chọn B.
Câu 7.
Phương pháp:
Phương pháp:
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Cách giải:
Ta có: hạng tử \({x^8}\) là có bậc cao nhất
\( \Rightarrow \) Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là: \(8\)
Câu 8.
Phương pháp:
Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) thì ta có công thức: \(y = kx\)
Cách giải:
Vì đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là 2025 nên ta có công thức: \(y = 2025x\)
Từ đó suy ra \(x = \dfrac{1}{{2025}}y\)
Do đó, đại lượng \(x\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{{2025}}\).
Chọn C.
Chú ý: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{k}\).
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.
Chú ý: Phải đưa về cùng đơn vị đo
Bước 1: Đổi \(100{m^2} = 1000000c{m^2}\)
Bước 2: Tính diện tích xung quanh của khuôn
Bước 3: Tính diện tích cần sơn của một khuôn
Bước 4: Tính số khuôn sơn được
Cách giải:
Đổi \(100{m^2} = 1000000c{m^2}\)
Diện tích xung quanh của chiếc khuôn là: \({S_{xq}} = 2.\left( {20 + 20} \right).5 = 400\left( {c{m^2}} \right)\)
Diện tích cần được sơn của một chiếc khuôn là: \(S' = {S_{xq}} + S = 400 + \left( {20.20} \right) = 800\left( {c{m^2}} \right)\)
Số chiếc khuôn được sơn là: \(1000000:800 = 1250\)(chiếc)
Bài 2.
Phương pháp:
+ Thời gian và vận tốc của một phương tiện đi trên một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
+ Sử dụng tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch: \({x_1}.{y_1} = {x_2}.{y_2}\)
+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{c - a}}{{d - b}}\)
Cách giải:
Gọi quãng đường của xe thứ nhất đi được từ \(A\) đến chỗ gặp là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\)
Gọi quãng đường của xe thứ hai đi được từ \(B\) đến chỗ gặp là \(y\) (km) \(\left( {y > 0} \right)\)
Vì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(6x = 3y\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6}\)
Quãng đường đi được của xe thứ hai dài hơn xe thứ nhất \(54\) km nên \(y - x = 54\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{{y - x}}{{6 - 3}} = \dfrac{{54}}{3} = 18\)
Do đó \(\dfrac{x}{3} = 18 \Rightarrow x = 54\) (thỏa mãn)
\(\dfrac{y}{6} = 18 \Rightarrow y = 108\) (thỏa mãn)
Quãng đường \(AB\) dài là \(54 + 108 = 162\) (km)
Vậy quãng đường \(AB\) dài là \(162\) (km).
Bài 3.
Phương pháp:
+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.
+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.
Cách giải:
a)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)
Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)
\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)
Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\dfrac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)
b)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)
\( = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2\)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \dfrac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)
c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)
Bài 4.
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh. Cách giải:
a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.
Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.
Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB - BM + CN = 2AB\).
\( \Leftrightarrow - BM + CN = 0 \Leftrightarrow BM = CN\)
b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC nên ta có:
\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M nên MB = ME. Do đó, ME = CN.
Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)
Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.
c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:
MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)
IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).
Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác ABK và ACK có:
AB = AC(gt),
\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),
AK là cạnh chung,
Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).
Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác BKM và CKN có:
MB = CN, BK = KN, MK = KC,
Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).
Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)
Bài 5.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
- Trường hợp \(1:\,a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c;\,\,a + c = - b;\,\,b + c = - a\) thay vảo biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{ - c.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right)}}{{abc}} = - 1.\)
- Trường hợp 2: \(a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a} = \dfrac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}} = 1\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\c + a = 2b\\b + c = 2a\end{array} \right.\) thay vào biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{2c.2a.2b}}{{abc}} = 8\)
Vậy: \(S = - 1\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c = 0\)
\(S = 8\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c \ne 0\).
Kỳ thi học kì 2 Toán 7 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá kết quả học tập của học sinh trong suốt một học kỳ. Việc chuẩn bị kỹ lưỡng với các đề thi thử, đặc biệt là các đề thi bám sát chương trình Kết nối tri thức, là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt nhất. Bài viết này sẽ cung cấp thông tin chi tiết về Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Kết nối tri thức, bao gồm cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn giải chi tiết.
Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Kết nối tri thức thường bao gồm các phần sau:
Các dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Để giải các bài tập về số hữu tỉ và số thực, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: (1/2) + (3/4) - (5/8)
Lời giải: Để tính giá trị của biểu thức, ta cần quy đồng mẫu số của các phân số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 4 và 8 là 8. Do đó, ta có:
(1/2) + (3/4) - (5/8) = (4/8) + (6/8) - (5/8) = (4 + 6 - 5)/8 = 5/8
Để giải các bài tập về biểu thức đại số, học sinh cần nắm vững các quy tắc về:
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 3x + 2(x - 1)
Lời giải: Để rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện các phép nhân và cộng:
3x + 2(x - 1) = 3x + 2x - 2 = 5x - 2
Để giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn, học sinh cần nắm vững các bước giải phương trình:
Ví dụ: Giải phương trình: 2x + 3 = 7
Lời giải: Để giải phương trình, ta thực hiện các bước sau:
2x + 3 = 7
2x = 7 - 3
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Kết nối tri thức là một công cụ hữu ích giúp học sinh ôn tập và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán và đạt kết quả cao nhất.
