THCS
THCS
Bài viết này cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm giúp học sinh ôn luyện và nắm vững kiến thức về hai trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác trong chương trình Toán 7 Kết nối tri thức.
Các câu hỏi được thiết kế đa dạng, bao gồm nhiều mức độ khó, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải thích rõ ràng, giúp học sinh tự đánh giá năng lực và cải thiện kết quả học tập.
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\) . Cần thêm điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc:
\(AC = MP\)
\(AB = MN\)
\(BC = NP\)
\(AC = MN\)
Cho góc nhọn \(xOy,Oz\) là tia phân giác của góc đó. Qua điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) kẻ đường thẳng song song với \(Oy\) cắt \(Oz\) ở \(M.\) Qua \(M\)kẻ đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) ở \(B.\) Chọn câu đúng.
\(OA > OB;MA > MB\)
\(OA = OB;MA = MB\)
\(OA < OB;MA < MB\)
\(OA < OB;MA = MB\)
Cho hai đoạn thẳng \(BD\) và \(EC\) vuông góc với nhau tại \(A\) sao cho \(AB = AE,AD = AC,AB < AC.\) Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là sai:
\(\Delta AED = \Delta ABC\)
\(BC = ED\)
\(EB = CD\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {AED}\) .
Cho góc nhọn \(xOy.\) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,C,\) trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(B,D\) sao cho \(OA = OB,OC = OD\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(C,\)\(B\) nằm giữa \(O\) và \(D\) ). So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(2.\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC,\) phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(O.\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
\(120^\circ \)
\({100^0}\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
\(3\,cm\)
\(3,5\,cm\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chọn câu sai.
\(BE = CD\)
\(BK = KC\)
\(BD = CE\)
\(DK = KC\)
Cho tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK.\) Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(G\) là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(xy\) sao cho \(B,C\) nằm cùng phía với \(xy.\) Kẻ \(BD\) và \(CE\) vuông góc với \(xy.\) Chọn câu đúng.
\(DE = BD + CE\)
\(DE = BD - CE\)
\(CE = BD + DE\)
\(CE = BD - DE\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tia phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D,\) lấy \(E\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BE = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\)
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED\)
\(DC = DE\)
\(\Delta ABD = \Delta CBD\)
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). So sánh \(EC\) và \(AM\).
\(EC < AM\)
\(EC = AM\)
\(EC > AM\)
Chưa đủ điều kiện để so sánh
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). Nối \(AE,\) so sánh số đo \(\widehat {AEC};\widehat {EAM}\).
\(\widehat {AEC} > \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} < \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} = \widehat {EAM}\)
Chưa đủ điều kiện so sánh
Cho điểm \(A\) nằm trong góc nhọn \(xOy.\) Vẽ \(AH\) vuông góc với \(Ox,\) trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(B\) sao cho \(HB = HA.\) Vẽ \(AK\) vuông góc với \(Oy,\) trên tia đổi của tia \(KA\) lấy điểm \(C\) sao cho \(KC = KA.\)
So sánh \(OB;OC\).
\(OB < OC\)
\(OB = OC\)
\(OB > OC\)
\(OB \ge OC\)
Biết \(\widehat {xOy} = \alpha .\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\(3\alpha \)
\(4\alpha \)
\(2\alpha \)
\(\alpha \)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
$3\,cm$
\(3,5\,cm\)
Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$ lấy $D$ sao cho $MD = MC$ . Trên tia đối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = NB.$
(I) \(\Delta AMD = \Delta BMC\)
(II) \(\Delta ANE = \Delta CNB\)
(III) $A,D,E$ thẳng hàng
(IV) $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
\(0\)
\(2\)
$4$
\(3\)
Cho góc nhọn $xOy$ và $Oz$ là tia phân giác của góc đó. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ và trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB.$ Gọi $C$ là một điểm bất kỳ trên tia $Oz.$
Chọn câu sai.
\(AC = OB\)
\(AC = BC\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\)
\(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(AB\) và \(Oz.\) Tính góc \(AIC.\)
\(120^\circ \)
\(90^\circ \)
$60^\circ $
\({100^0}\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = BC,$ phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $O.$
Chọn câu đúng.
$CE \bot \;AB$
$BD\; \bot AC$
\(DC = BC\)
Cả A, B đều đúng.
Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
$120^\circ $
\({100^0}\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), trên đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) lấy điểm \(M.\) So sánh \(AM\) và \(BM.\)
\(MA = MB\)
\(MA > MB\)
\(MA < MB\)
\(2.MA = MB\)
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {90^0}\), tia phân giác $BD$ của góc $B$ (\(D \in AC\)). Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Hai góc nào sau đây bằng nhau?
\(\widehat {EDC};\widehat {BAC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ACB}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ABC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {EC{\rm{D}}}\)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$ Biết \(\widehat D = {70^0}\). Số đo góc $H$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
Chọn câu đúng.
\(\Delta OAD = \Delta OCB\)
\(\Delta ODA = \Delta OBC\)
\(\Delta AOD = \Delta BCO\)
\(\Delta OAD = \Delta OBC\) .
So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}\) .
Cho tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ có: $AB = MH$ , \(\widehat A = \widehat M\). Cần thêm một điều kiện gì để hai tam giác $ABC$ và $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh:
$BC = MK$
$BC = HK$
$AC = MK$
$AC = HK$
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $MPN$ và tam giác $CBA$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc ?
\(\widehat M = \widehat A\)
\(\widehat A = \widehat P\)
\(\widehat C = \widehat M\)
\(\widehat A = \widehat N\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP,$ \(\widehat C = \widehat M\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta ABC = \Delta PMN\)
\(\Delta ACB = \Delta PNM\)
\(\Delta BAC = \Delta MNP\)
\(\Delta ABC = \Delta PNM\)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc $G$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 6cm.$ Độ dài $DF$ là:
$4cm\;\;\;\;$
$5cm$
$6cm\;\;\;\;$
$7cm$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ sao cho $B,C$ nằm cùng phía với $xy.$ Kẻ $BD$ và $CE$ vuông góc với $xy.$ Chọn câu đúng.
$DE = BD + CE$
$DE = BD - CE$
$CE = BD + DE$
$CE = BD - DE$
Cho tam giác $ABC,D$ là trung điểm của $AB.$ Đường thẳng qua $D$ và song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E,$ đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BC$ ở $F.$ Khi đó
\(\Delta ADE = \Delta EFC\)
\(\Delta ADE = \Delta DBF\)
\(\Delta EFC = \Delta DBF\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D,\) tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E.\) Các tia phân giác đó cắt nhau ở \(I.\) Tính độ dài \(ID,\) biết \(IE = 2cm.\)
\(ID = 4cm\)
\(ID = 2cm\)
\(ID = 8cm\)
\(ID = 3cm\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB,CD\) song song với nhau. Hai đoạn thẳng này chắn giữa hai đường thẳng song song \(AC,BD\). Chọn câu đúng:
\(AB = CD\)
\(AB > CD\)
\(AB < CD\)
\(AC > BD\)
Lời giải và đáp án
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Đáp án : A
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác
Xét tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c).
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\) . Cần thêm điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc:
\(AC = MP\)
\(AB = MN\)
\(BC = NP\)
\(AC = MN\)
Đáp án : B
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác.
Ta thấy hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).
Để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)
Cho góc nhọn \(xOy,Oz\) là tia phân giác của góc đó. Qua điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) kẻ đường thẳng song song với \(Oy\) cắt \(Oz\) ở \(M.\) Qua \(M\)kẻ đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) ở \(B.\) Chọn câu đúng.
\(OA > OB;MA > MB\)
\(OA = OB;MA = MB\)
\(OA < OB;MA < MB\)
\(OA < OB;MA = MB\)
Đáp án : B
+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.
+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.
Ta có:
\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)
Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)
Xét tam giác \(AOM\) và tam giác \(BOM\) có:
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)
\(OM\) là cạnh chung
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)
Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).
Cho hai đoạn thẳng \(BD\) và \(EC\) vuông góc với nhau tại \(A\) sao cho \(AB = AE,AD = AC,AB < AC.\) Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là sai:
\(\Delta AED = \Delta ABC\)
\(BC = ED\)
\(EB = CD\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {AED}\) .
Đáp án : C
+ Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+ Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau để suy ra các tính chất về cạnh, về góc tương ứng.
Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\) có:
\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).
\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);
\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).
Cho góc nhọn \(xOy.\) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,C,\) trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(B,D\) sao cho \(OA = OB,OC = OD\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(C,\)\(B\) nằm giữa \(O\) và \(D\) ). So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(2.\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
Đáp án : A
+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau
+ Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
\(OA = OB,\)
\(\widehat O\)chung,
\(OC = OD\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC,\) phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(O.\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
\(120^\circ \)
\({100^0}\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.
Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:
+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)
+ Cạnh \(BD\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
\(3\,cm\)
\(3,5\,cm\)
Đáp án : A
Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)
* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)
* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)
+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chọn câu sai.
\(BE = CD\)
\(BK = KC\)
\(BD = CE\)
\(DK = KC\)
Đáp án : D
Chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có
+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)
+ Góc \(A\) chung
+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.
Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)
Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.
Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)
\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)
\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.
Cho tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK.\) Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(G\) là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : B
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK,\) do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.C.g).
Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(xy\) sao cho \(B,C\) nằm cùng phía với \(xy.\) Kẻ \(BD\) và \(CE\) vuông góc với \(xy.\) Chọn câu đúng.
\(DE = BD + CE\)
\(DE = BD - CE\)
\(CE = BD + DE\)
\(CE = BD - DE\)
Đáp án : A
+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.
Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)
Mà \({\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}\) (vì tam giác \(ABD\) vuông tại \(D.\))
\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).
Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) (vì tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) )
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).
Xét hai tam giác \(BDA\) và \(AEC\) có:
\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_2}}\); \(AB = AC\) (gt) và\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (g.c.g)
\( \Rightarrow \) \(BD = AE\) (hai cạnh tương ứng), \(CE = AD\) (hai cạnh tương ứng).
Do đó \(DE = AD + AE = CE + BD.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tia phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D,\) lấy \(E\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BE = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\)
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED\)
\(DC = DE\)
\(\Delta ABD = \Delta CBD\)
Đáp án: A
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:
\(BA = BE\) (gt)
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\widehat {ABC}\))
\(BD\) cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\,(c.g.c)\)
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). So sánh \(EC\) và \(AM\).
\(EC < AM\)
\(EC = AM\)
\(EC > AM\)
Chưa đủ điều kiện để so sánh
Đáp án: B
- Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\) suy ra \(DE = DA\) (hai cạnh tương ứng).
- Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta ADM = \Delta EDC\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\) suy ra \(DE = DA\) (hai cạnh tương ứng). Nối \(AM.\)
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta EDC\) có:
\(DA = DE\) (chứng minh trên)
\(\widehat {ADM} = \widehat {EDC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(DM = DC\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta EDC\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow AM = EC\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). Nối \(AE,\) so sánh số đo \(\widehat {AEC};\widehat {EAM}\).
\(\widehat {AEC} > \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} < \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} = \widehat {EAM}\)
Chưa đủ điều kiện so sánh
Đáp án: C
- Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ADM = \Delta EDC\) suy ra \(AD = ED;\,AM = EC\) (các cạnh tương ứng).
- Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác để chứng minh \(\Delta AEC = \Delta EAM\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ADM = \Delta EDC\) suy ra \(AD = ED;\,AM = EC\) (các cạnh tương ứng).
Ta có: \(AD = ED\,\,\,\,(1)\)
\(DC = DM\,\,\,(2)\)
Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta được: \(AD + DC = ED + DM\) hay \(AC = EM\).
Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta EAM\) có:
\(AE\) cạnh chung
\(EC = AM\,(cmt)\)
\(AC = EM\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta AEC = \Delta EAM\,(c.c.c)\)
\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {EAM}\) (hai góc tương ứng).
Cho điểm \(A\) nằm trong góc nhọn \(xOy.\) Vẽ \(AH\) vuông góc với \(Ox,\) trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(B\) sao cho \(HB = HA.\) Vẽ \(AK\) vuông góc với \(Oy,\) trên tia đổi của tia \(KA\) lấy điểm \(C\) sao cho \(KC = KA.\)
So sánh \(OB;OC\).
\(OB < OC\)
\(OB = OC\)
\(OB > OC\)
\(OB \ge OC\)
Đáp án: B
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Xét \(\Delta OAH\) và \(\Delta OBH\) có:
\(OH\) cạnh chung
\(\widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^o}\)
\(HA = HB\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta OAH = \Delta OBH\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow OA = OB\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta OAK\) và \(\Delta OCK\) có:
\(OK\) cạnh chung
\(\widehat {OKA} = \widehat {OKC} = {90^o}\)
\(KA = KC\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta OAK = \Delta OCK\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow OA = OC\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OA = OB = OC.\)
Biết \(\widehat {xOy} = \alpha .\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\(3\alpha \)
\(4\alpha \)
\(2\alpha \)
\(\alpha \)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\). Từ đó suy ra \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\), \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\) (các cặp góc tương ứng), sau đó biến đổi để tìm được số đo của \(\widehat {BOC}.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\).
Vì \(\Delta OAH = \Delta OBH\) suy ra \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(\Delta OAK = \Delta OCK\) suy ra \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat {BOC} = \widehat {BOA} + \widehat {AOC}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = \widehat {BOH} + \widehat {AOH} + \widehat {AOK} + \widehat {COK}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = 2\widehat {AOH} + 2\widehat {AOK}\) (vì \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\) và \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\))
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = 2\left( {\widehat {AOH} + \widehat {AOK}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2\alpha .\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
$3\,cm$
\(3,5\,cm\)
Đáp án : A
Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)
* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)
Suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)
* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)
+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)
Suy ra \(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\) nên \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)
Suy ra ba điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)
Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$ lấy $D$ sao cho $MD = MC$ . Trên tia đối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = NB.$
(I) \(\Delta AMD = \Delta BMC\)
(II) \(\Delta ANE = \Delta CNB\)
(III) $A,D,E$ thẳng hàng
(IV) $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
\(0\)
\(2\)
$4$
\(3\)
Đáp án : C
(I), (II) Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau
(III) Để chứng minh ba điểm $A,D,E$ thẳng hàng ta chứng minh $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$
(IV) Để chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$ ta chứng minh $AD$ và $AE$ cùng bằng $BC$ do đó chúng bằng nhau.
(I) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) có: $DM = MC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {BMC} = \widehat {AMD}\) (hai góc đối đỉnh); $AM = BM\left( {gt} \right),$ nên \(\Delta AMD = \Delta BMC\)(c.g.c).
(II) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta CNB\) có: $AN = NC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {ANE} = \widehat {CNB}\)(hai góc đối đỉnh), $NB = NE\left( {gt} \right),$ do đó
\(\Delta CNB = \Delta ANE\)(c.g.c).
(III) Do \(\Delta AMD = \Delta BMC\) nên \(\widehat D = \widehat {{C_1}}\)(hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AD//BC.$
Do \(\Delta CNB = \Delta ANE\)nên \(\widehat E = \widehat {{B_1}}\)(hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AE//BC.$
Như vậy qua $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$
Do đó $D,A,E$ thẳng hàng. (1)
(IV) Ta có: $AD = BC$ (do \(\Delta AMD = \Delta BMC\)); $AE = BC$ (do \(\Delta CNB = \Delta ANE\)) nên $AD = AE\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $A$ là trung điểm của $DE.$
Vậy cả (I); (II); (III); (IV) đều đúng.
Cho góc nhọn $xOy$ và $Oz$ là tia phân giác của góc đó. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ và trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB.$ Gọi $C$ là một điểm bất kỳ trên tia $Oz.$
Chọn câu sai.
\(AC = OB\)
\(AC = BC\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\)
\(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Đáp án: A
Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp thứ hai và tính chất hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác \(AOC\) và \(BOC\) có
+ \(OA = OB\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\) (tính chất tia phân giác)
+ Cạnh $OC$ chung
Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOC\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow AC = BC\) (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\); \(\widehat {OCA} = \widehat {OCB}\) (hai góc tương ứng)
Từ đó \(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Nên B, C, D đúng, A sai.
Gọi \(I\) là giao của \(AB\) và \(Oz.\) Tính góc \(AIC.\)
\(120^\circ \)
\(90^\circ \)
$60^\circ $
\({100^0}\)
Đáp án: B
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh
Xét tam giác \(AOI\) và \(BOI\) có
+ \(OA = OB\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (tính chất tia phân giác)
+ Cạnh $OI$ chung
Suy ra \(\Delta AOI = \Delta BOI\left( {c - g - c} \right)\)
Do đó \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO}\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat {AIO} + \widehat {BIO} = 180^\circ \) nên \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Hay \(OC \bot AB \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ .\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = BC,$ phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $O.$
Chọn câu đúng.
$CE \bot \;AB$
$BD\; \bot AC$
\(DC = BC\)
Cả A, B đều đúng.
Đáp án: D
Dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau và tính chất hai góc kề bù.
Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:
+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)
+ Cạnh \(BD\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng); \(DC = AD\) (hai cạnh tương ứng) nên C sai.
Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) . Do đó \(BD \bot AC.\)
Tương tự ta có \(CE \bot AB.\)
Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
$120^\circ $
\({100^0}\)
Đáp án: C
Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.
Từ câu trước ta có \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), trên đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) lấy điểm \(M.\) So sánh \(AM\) và \(BM.\)
\(MA = MB\)
\(MA > MB\)
\(MA < MB\)
\(2.MA = MB\)
Đáp án : A
Sử dụng hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh từ đó suy ra \(AM = BM.\)
Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) tại trung điểm \(E\) . Do đó \(ME \bot AB;\,EA = EB.\)
Xét tam giác \(MEA\) và tam giác \(MEB\) có \(EA = EB\,\left( {cmt} \right),\) \(\widehat {MEA} = \widehat {MEB} = 90^\circ ,\) cạnh \(ME\) chung nên \(\Delta MEA = \Delta MEB\,\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(MA = MB\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {90^0}\), tia phân giác $BD$ của góc $B$ (\(D \in AC\)). Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Hai góc nào sau đây bằng nhau?
\(\widehat {EDC};\widehat {BAC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ACB}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ABC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {EC{\rm{D}}}\)
Đáp án : C
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \) và lập luận để chỉ ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}.\)
Xét hai tam giác $BDA$ và $BDE$ có:$BA = BE\left( {gt} \right),$ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do $BD$ là tia phân giác của góc B);
$BD$ là cạnh chung. Suy ra \(\Delta BDA = \Delta BDE\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)
Trong các tam giác $ABC$ và $EDC$ vuông ở $A$ và $E,$ ta có:
\(\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }\) và \(\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }\), suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\).
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$ Biết \(\widehat D = {70^0}\). Số đo góc $H$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : A
+Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$
do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\) (c.g.c).
Do đó \(\widehat H = \widehat D = {70^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
Chọn câu đúng.
\(\Delta OAD = \Delta OCB\)
\(\Delta ODA = \Delta OBC\)
\(\Delta AOD = \Delta BCO\)
\(\Delta OAD = \Delta OBC\) .
Đáp án: D
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
$OA = OB,$ góc \(O\) chung, $OD = OC$ suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\)
So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}\) .
Đáp án: A
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau
Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Vì \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\) Suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Đáp án : A
Xét tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\) (c.g.c)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ có: $AB = MH$ , \(\widehat A = \widehat M\). Cần thêm một điều kiện gì để hai tam giác $ABC$ và $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh:
$BC = MK$
$BC = HK$
$AC = MK$
$AC = HK$
Đáp án : C
Để tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về cạnh kề đó là:$AC = MK.$
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $MPN$ và tam giác $CBA$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc ?
\(\widehat M = \widehat A\)
\(\widehat A = \widehat P\)
\(\widehat C = \widehat M\)
\(\widehat A = \widehat N\)
Đáp án : C
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là \(\widehat C = \widehat M.\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP,$ \(\widehat C = \widehat M\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta ABC = \Delta PMN\)
\(\Delta ACB = \Delta PNM\)
\(\Delta BAC = \Delta MNP\)
\(\Delta ABC = \Delta PNM\)
Đáp án : D
Sử dụng hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc $G$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : B
+Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).
Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 6cm.$ Độ dài $DF$ là:
$4cm\;\;\;\;$
$5cm$
$6cm\;\;\;\;$
$7cm$
Đáp án : C
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về cạnh của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).
Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ sao cho $B,C$ nằm cùng phía với $xy.$ Kẻ $BD$ và $CE$ vuông góc với $xy.$ Chọn câu đúng.
$DE = BD + CE$
$DE = BD - CE$
$CE = BD + DE$
$CE = BD - DE$
Đáp án : A
+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.
Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)
Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$ vuông tại $D.$
\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).
Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).
Xét hai tam giác vuông $BDA$ và $AEC$ có:
\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).
Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$
Cho tam giác $ABC,D$ là trung điểm của $AB.$ Đường thẳng qua $D$ và song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E,$ đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BC$ ở $F.$ Khi đó
\(\Delta ADE = \Delta EFC\)
\(\Delta ADE = \Delta DBF\)
\(\Delta EFC = \Delta DBF\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
+ Từ tính chất của hai đường song song suy ra các cặp góc bằng nhau, từ đó dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh bằng nhau ta tìm mối liên hệ giữa chúng để suy ra điều phải chứng minh
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $FBD$ có:
\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (hai góc so le trong).
$DF$ là cạnh chung
\(\widehat {{F_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong).
Vậy \(\Delta DEF = \Delta FBD\,\,\,(g.c.g)\)
Suy ra $EF = BD$ (hai cạnh tương ứng)
Mà $AD = BD$ nên $EF = AD$
Ta có : \(\widehat {{F_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị); \(\widehat {{D_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\left( { = \widehat B} \right).\).
Xét tam giác $ADE$ và tam giác $EFC$ có:
\(\widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\)(cmt)
\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\)(hai góc đồng vị)
$AD = EF\left( {cmt} \right)$
\( \Rightarrow \Delta ADE = \Delta EFC\,\,\,(g.c.g).\) (1)
Tương tự ta chứng minh được \(\Delta EFC = \Delta DBF\,\,\,(g.c.g)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ADE = \Delta EFC = \Delta DBF\) (3)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D,\) tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E.\) Các tia phân giác đó cắt nhau ở \(I.\) Tính độ dài \(ID,\) biết \(IE = 2cm.\)
\(ID = 4cm\)
\(ID = 2cm\)
\(ID = 8cm\)
\(ID = 3cm\)
Đáp án : B
+ Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)
+ Sử dụng tính chất tia phân giác, định lí tổng ba góc của một tam giác chứng minh \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC} = 60^\circ \).
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” ta chứng minh \(\Delta BIE = \Delta BIH\), \(\Delta CID = \Delta CIH\).
+ Từ đó ta tính được độ dài \(ID\).
Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))
Mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Ta lại có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} + \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)
Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))
Mà \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Mặt khác: \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BIE} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Khi đó \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh) \((1)\)
Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)
Suy ra \(\widehat {BIH} = \widehat {HIC} = \dfrac{1}{2}.\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)\((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC}\)
Xét tam giác \(BIE\) và tam giác \(BIH\) có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)
\(BI\) là cạnh chung
\(\widehat {BIE} = \widehat {BIH}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BIE = \Delta BIH \,(g.c.g) \Rightarrow IE = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((3)\)
Xét tam giác \(CID\) và tam giác \(CIH\) có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt)
\(CI\) là cạnh chung
\(\widehat {CID} = \widehat {HIC}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta CID = \Delta CIH \,(g.c.g) \Rightarrow ID = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra \(ID = IE = 2cm\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB,CD\) song song với nhau. Hai đoạn thẳng này chắn giữa hai đường thẳng song song \(AC,BD\). Chọn câu đúng:
\(AB = CD\)
\(AB > CD\)
\(AB < CD\)
\(AC > BD\)
Đáp án : A
+ Kẻ đoạn thẳng \(AD\).
+ Từ tính chất của hai đường thẳng song song suy ra các cặp góc bằng nhau.
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” để chứng minh \(\Delta ABD = \Delta DCA\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Kẻ đoạn thẳng \(AD\)
Vì \(AB//CD\) (gt) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc so le trong)
Vì \(AC//BD\) (gt) nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(DCA\) có:
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)
\(AD\) là cạnh chung
\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\,(g.c.g) \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng)
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\) . Cần thêm điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc:
\(AC = MP\)
\(AB = MN\)
\(BC = NP\)
\(AC = MN\)
Cho góc nhọn \(xOy,Oz\) là tia phân giác của góc đó. Qua điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) kẻ đường thẳng song song với \(Oy\) cắt \(Oz\) ở \(M.\) Qua \(M\)kẻ đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) ở \(B.\) Chọn câu đúng.
\(OA > OB;MA > MB\)
\(OA = OB;MA = MB\)
\(OA < OB;MA < MB\)
\(OA < OB;MA = MB\)
Cho hai đoạn thẳng \(BD\) và \(EC\) vuông góc với nhau tại \(A\) sao cho \(AB = AE,AD = AC,AB < AC.\) Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là sai:
\(\Delta AED = \Delta ABC\)
\(BC = ED\)
\(EB = CD\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {AED}\) .
Cho góc nhọn \(xOy.\) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,C,\) trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(B,D\) sao cho \(OA = OB,OC = OD\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(C,\)\(B\) nằm giữa \(O\) và \(D\) ). So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(2.\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC,\) phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(O.\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
\(120^\circ \)
\({100^0}\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
\(3\,cm\)
\(3,5\,cm\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chọn câu sai.
\(BE = CD\)
\(BK = KC\)
\(BD = CE\)
\(DK = KC\)
Cho tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK.\) Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(G\) là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(xy\) sao cho \(B,C\) nằm cùng phía với \(xy.\) Kẻ \(BD\) và \(CE\) vuông góc với \(xy.\) Chọn câu đúng.
\(DE = BD + CE\)
\(DE = BD - CE\)
\(CE = BD + DE\)
\(CE = BD - DE\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tia phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D,\) lấy \(E\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BE = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\)
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED\)
\(DC = DE\)
\(\Delta ABD = \Delta CBD\)
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). So sánh \(EC\) và \(AM\).
\(EC < AM\)
\(EC = AM\)
\(EC > AM\)
Chưa đủ điều kiện để so sánh
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). Nối \(AE,\) so sánh số đo \(\widehat {AEC};\widehat {EAM}\).
\(\widehat {AEC} > \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} < \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} = \widehat {EAM}\)
Chưa đủ điều kiện so sánh
Cho điểm \(A\) nằm trong góc nhọn \(xOy.\) Vẽ \(AH\) vuông góc với \(Ox,\) trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(B\) sao cho \(HB = HA.\) Vẽ \(AK\) vuông góc với \(Oy,\) trên tia đổi của tia \(KA\) lấy điểm \(C\) sao cho \(KC = KA.\)
So sánh \(OB;OC\).
\(OB < OC\)
\(OB = OC\)
\(OB > OC\)
\(OB \ge OC\)
Biết \(\widehat {xOy} = \alpha .\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\(3\alpha \)
\(4\alpha \)
\(2\alpha \)
\(\alpha \)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
$3\,cm$
\(3,5\,cm\)
Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$ lấy $D$ sao cho $MD = MC$ . Trên tia đối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = NB.$
(I) \(\Delta AMD = \Delta BMC\)
(II) \(\Delta ANE = \Delta CNB\)
(III) $A,D,E$ thẳng hàng
(IV) $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
\(0\)
\(2\)
$4$
\(3\)
Cho góc nhọn $xOy$ và $Oz$ là tia phân giác của góc đó. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ và trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB.$ Gọi $C$ là một điểm bất kỳ trên tia $Oz.$
Chọn câu sai.
\(AC = OB\)
\(AC = BC\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\)
\(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(AB\) và \(Oz.\) Tính góc \(AIC.\)
\(120^\circ \)
\(90^\circ \)
$60^\circ $
\({100^0}\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = BC,$ phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $O.$
Chọn câu đúng.
$CE \bot \;AB$
$BD\; \bot AC$
\(DC = BC\)
Cả A, B đều đúng.
Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
$120^\circ $
\({100^0}\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), trên đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) lấy điểm \(M.\) So sánh \(AM\) và \(BM.\)
\(MA = MB\)
\(MA > MB\)
\(MA < MB\)
\(2.MA = MB\)
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {90^0}\), tia phân giác $BD$ của góc $B$ (\(D \in AC\)). Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Hai góc nào sau đây bằng nhau?
\(\widehat {EDC};\widehat {BAC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ACB}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ABC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {EC{\rm{D}}}\)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$ Biết \(\widehat D = {70^0}\). Số đo góc $H$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
Chọn câu đúng.
\(\Delta OAD = \Delta OCB\)
\(\Delta ODA = \Delta OBC\)
\(\Delta AOD = \Delta BCO\)
\(\Delta OAD = \Delta OBC\) .
So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}\) .
Cho tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ có: $AB = MH$ , \(\widehat A = \widehat M\). Cần thêm một điều kiện gì để hai tam giác $ABC$ và $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh:
$BC = MK$
$BC = HK$
$AC = MK$
$AC = HK$
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $MPN$ và tam giác $CBA$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc ?
\(\widehat M = \widehat A\)
\(\widehat A = \widehat P\)
\(\widehat C = \widehat M\)
\(\widehat A = \widehat N\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP,$ \(\widehat C = \widehat M\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta ABC = \Delta PMN\)
\(\Delta ACB = \Delta PNM\)
\(\Delta BAC = \Delta MNP\)
\(\Delta ABC = \Delta PNM\)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc $G$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 6cm.$ Độ dài $DF$ là:
$4cm\;\;\;\;$
$5cm$
$6cm\;\;\;\;$
$7cm$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ sao cho $B,C$ nằm cùng phía với $xy.$ Kẻ $BD$ và $CE$ vuông góc với $xy.$ Chọn câu đúng.
$DE = BD + CE$
$DE = BD - CE$
$CE = BD + DE$
$CE = BD - DE$
Cho tam giác $ABC,D$ là trung điểm của $AB.$ Đường thẳng qua $D$ và song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E,$ đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BC$ ở $F.$ Khi đó
\(\Delta ADE = \Delta EFC\)
\(\Delta ADE = \Delta DBF\)
\(\Delta EFC = \Delta DBF\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D,\) tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E.\) Các tia phân giác đó cắt nhau ở \(I.\) Tính độ dài \(ID,\) biết \(IE = 2cm.\)
\(ID = 4cm\)
\(ID = 2cm\)
\(ID = 8cm\)
\(ID = 3cm\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB,CD\) song song với nhau. Hai đoạn thẳng này chắn giữa hai đường thẳng song song \(AC,BD\). Chọn câu đúng:
\(AB = CD\)
\(AB > CD\)
\(AB < CD\)
\(AC > BD\)
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Đáp án : A
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác
Xét tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c).
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\) . Cần thêm điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc:
\(AC = MP\)
\(AB = MN\)
\(BC = NP\)
\(AC = MN\)
Đáp án : B
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác.
Ta thấy hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).
Để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)
Cho góc nhọn \(xOy,Oz\) là tia phân giác của góc đó. Qua điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) kẻ đường thẳng song song với \(Oy\) cắt \(Oz\) ở \(M.\) Qua \(M\)kẻ đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) ở \(B.\) Chọn câu đúng.
\(OA > OB;MA > MB\)
\(OA = OB;MA = MB\)
\(OA < OB;MA < MB\)
\(OA < OB;MA = MB\)
Đáp án : B
+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.
+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.
Ta có:
\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)
Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)
Xét tam giác \(AOM\) và tam giác \(BOM\) có:
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)
\(OM\) là cạnh chung
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)
Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).
Cho hai đoạn thẳng \(BD\) và \(EC\) vuông góc với nhau tại \(A\) sao cho \(AB = AE,AD = AC,AB < AC.\) Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là sai:
\(\Delta AED = \Delta ABC\)
\(BC = ED\)
\(EB = CD\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {AED}\) .
Đáp án : C
+ Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+ Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau để suy ra các tính chất về cạnh, về góc tương ứng.
Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\) có:
\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).
\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);
\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).
Cho góc nhọn \(xOy.\) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,C,\) trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(B,D\) sao cho \(OA = OB,OC = OD\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(C,\)\(B\) nằm giữa \(O\) và \(D\) ). So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(2.\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
Đáp án : A
+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau
+ Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
\(OA = OB,\)
\(\widehat O\)chung,
\(OC = OD\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC,\) phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(O.\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
\(120^\circ \)
\({100^0}\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.
Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:
+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)
+ Cạnh \(BD\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
\(3\,cm\)
\(3,5\,cm\)
Đáp án : A
Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)
* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)
* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)
+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chọn câu sai.
\(BE = CD\)
\(BK = KC\)
\(BD = CE\)
\(DK = KC\)
Đáp án : D
Chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có
+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)
+ Góc \(A\) chung
+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.
Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)
Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.
Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)
\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)
\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.
Cho tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK.\) Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(G\) là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : B
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(HKG\) có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), \(DE = HK,\) do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.C.g).
Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(xy\) sao cho \(B,C\) nằm cùng phía với \(xy.\) Kẻ \(BD\) và \(CE\) vuông góc với \(xy.\) Chọn câu đúng.
\(DE = BD + CE\)
\(DE = BD - CE\)
\(CE = BD + DE\)
\(CE = BD - DE\)
Đáp án : A
+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.
Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)
Mà \({\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}\) (vì tam giác \(ABD\) vuông tại \(D.\))
\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).
Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) (vì tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) )
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).
Xét hai tam giác \(BDA\) và \(AEC\) có:
\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_2}}\); \(AB = AC\) (gt) và\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (g.c.g)
\( \Rightarrow \) \(BD = AE\) (hai cạnh tương ứng), \(CE = AD\) (hai cạnh tương ứng).
Do đó \(DE = AD + AE = CE + BD.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tia phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D,\) lấy \(E\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BE = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\)
\(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED\)
\(DC = DE\)
\(\Delta ABD = \Delta CBD\)
Đáp án: A
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:
\(BA = BE\) (gt)
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\widehat {ABC}\))
\(BD\) cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\,(c.g.c)\)
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). So sánh \(EC\) và \(AM\).
\(EC < AM\)
\(EC = AM\)
\(EC > AM\)
Chưa đủ điều kiện để so sánh
Đáp án: B
- Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\) suy ra \(DE = DA\) (hai cạnh tương ứng).
- Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta ADM = \Delta EDC\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD\) suy ra \(DE = DA\) (hai cạnh tương ứng). Nối \(AM.\)
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta EDC\) có:
\(DA = DE\) (chứng minh trên)
\(\widehat {ADM} = \widehat {EDC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(DM = DC\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta EDC\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow AM = EC\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DC\). Nối \(AE,\) so sánh số đo \(\widehat {AEC};\widehat {EAM}\).
\(\widehat {AEC} > \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} < \widehat {EAM}\)
\(\widehat {AEC} = \widehat {EAM}\)
Chưa đủ điều kiện so sánh
Đáp án: C
- Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ADM = \Delta EDC\) suy ra \(AD = ED;\,AM = EC\) (các cạnh tương ứng).
- Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác để chứng minh \(\Delta AEC = \Delta EAM\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ADM = \Delta EDC\) suy ra \(AD = ED;\,AM = EC\) (các cạnh tương ứng).
Ta có: \(AD = ED\,\,\,\,(1)\)
\(DC = DM\,\,\,(2)\)
Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta được: \(AD + DC = ED + DM\) hay \(AC = EM\).
Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta EAM\) có:
\(AE\) cạnh chung
\(EC = AM\,(cmt)\)
\(AC = EM\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta AEC = \Delta EAM\,(c.c.c)\)
\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {EAM}\) (hai góc tương ứng).
Cho điểm \(A\) nằm trong góc nhọn \(xOy.\) Vẽ \(AH\) vuông góc với \(Ox,\) trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(B\) sao cho \(HB = HA.\) Vẽ \(AK\) vuông góc với \(Oy,\) trên tia đổi của tia \(KA\) lấy điểm \(C\) sao cho \(KC = KA.\)
So sánh \(OB;OC\).
\(OB < OC\)
\(OB = OC\)
\(OB > OC\)
\(OB \ge OC\)
Đáp án: B
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Xét \(\Delta OAH\) và \(\Delta OBH\) có:
\(OH\) cạnh chung
\(\widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^o}\)
\(HA = HB\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta OAH = \Delta OBH\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow OA = OB\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta OAK\) và \(\Delta OCK\) có:
\(OK\) cạnh chung
\(\widehat {OKA} = \widehat {OKC} = {90^o}\)
\(KA = KC\,(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta OAK = \Delta OCK\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow OA = OC\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OA = OB = OC.\)
Biết \(\widehat {xOy} = \alpha .\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
\(3\alpha \)
\(4\alpha \)
\(2\alpha \)
\(\alpha \)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\). Từ đó suy ra \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\), \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\) (các cặp góc tương ứng), sau đó biến đổi để tìm được số đo của \(\widehat {BOC}.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\Delta OAH = \Delta OBH\), \(\Delta OAK = \Delta OCK\).
Vì \(\Delta OAH = \Delta OBH\) suy ra \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(\Delta OAK = \Delta OCK\) suy ra \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat {BOC} = \widehat {BOA} + \widehat {AOC}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = \widehat {BOH} + \widehat {AOH} + \widehat {AOK} + \widehat {COK}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = 2\widehat {AOH} + 2\widehat {AOK}\) (vì \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH}\) và \(\widehat {AOK} = \widehat {COK}\))
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = 2\left( {\widehat {AOH} + \widehat {AOK}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2\alpha .\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
\(4\,cm\)
\(2cm\)
$3\,cm$
\(3,5\,cm\)
Đáp án : A
Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được \(O\) là trung điểm của \(EF\) để tính độ dài \(EF.\)
* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)
Suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)
* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)
+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)
Suy ra \(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\) nên \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)
Suy ra ba điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)
Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$ lấy $D$ sao cho $MD = MC$ . Trên tia đối của tia $NB$ lấy điểm $E$ sao cho $NE = NB.$
(I) \(\Delta AMD = \Delta BMC\)
(II) \(\Delta ANE = \Delta CNB\)
(III) $A,D,E$ thẳng hàng
(IV) $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $DE$
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
\(0\)
\(2\)
$4$
\(3\)
Đáp án : C
(I), (II) Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau
(III) Để chứng minh ba điểm $A,D,E$ thẳng hàng ta chứng minh $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$
(IV) Để chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$ ta chứng minh $AD$ và $AE$ cùng bằng $BC$ do đó chúng bằng nhau.
(I) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) có: $DM = MC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {BMC} = \widehat {AMD}\) (hai góc đối đỉnh); $AM = BM\left( {gt} \right),$ nên \(\Delta AMD = \Delta BMC\)(c.g.c).
(II) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta CNB\) có: $AN = NC\left( {gt} \right);$ \(\widehat {ANE} = \widehat {CNB}\)(hai góc đối đỉnh), $NB = NE\left( {gt} \right),$ do đó
\(\Delta CNB = \Delta ANE\)(c.g.c).
(III) Do \(\Delta AMD = \Delta BMC\) nên \(\widehat D = \widehat {{C_1}}\)(hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AD//BC.$
Do \(\Delta CNB = \Delta ANE\)nên \(\widehat E = \widehat {{B_1}}\)(hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AE//BC.$
Như vậy qua $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$
Do đó $D,A,E$ thẳng hàng. (1)
(IV) Ta có: $AD = BC$ (do \(\Delta AMD = \Delta BMC\)); $AE = BC$ (do \(\Delta CNB = \Delta ANE\)) nên $AD = AE\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $A$ là trung điểm của $DE.$
Vậy cả (I); (II); (III); (IV) đều đúng.
Cho góc nhọn $xOy$ và $Oz$ là tia phân giác của góc đó. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ và trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB.$ Gọi $C$ là một điểm bất kỳ trên tia $Oz.$
Chọn câu sai.
\(AC = OB\)
\(AC = BC\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\)
\(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Đáp án: A
Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp thứ hai và tính chất hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác \(AOC\) và \(BOC\) có
+ \(OA = OB\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\) (tính chất tia phân giác)
+ Cạnh $OC$ chung
Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOC\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow AC = BC\) (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\); \(\widehat {OCA} = \widehat {OCB}\) (hai góc tương ứng)
Từ đó \(CO\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}.\)
Nên B, C, D đúng, A sai.
Gọi \(I\) là giao của \(AB\) và \(Oz.\) Tính góc \(AIC.\)
\(120^\circ \)
\(90^\circ \)
$60^\circ $
\({100^0}\)
Đáp án: B
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh
Xét tam giác \(AOI\) và \(BOI\) có
+ \(OA = OB\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (tính chất tia phân giác)
+ Cạnh $OI$ chung
Suy ra \(\Delta AOI = \Delta BOI\left( {c - g - c} \right)\)
Do đó \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO}\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat {AIO} + \widehat {BIO} = 180^\circ \) nên \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Hay \(OC \bot AB \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ .\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = BC,$ phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $O.$
Chọn câu đúng.
$CE \bot \;AB$
$BD\; \bot AC$
\(DC = BC\)
Cả A, B đều đúng.
Đáp án: D
Dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau và tính chất hai góc kề bù.
Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:
+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)
+ Cạnh \(BD\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng); \(DC = AD\) (hai cạnh tương ứng) nên C sai.
Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) . Do đó \(BD \bot AC.\)
Tương tự ta có \(CE \bot AB.\)
Tính \(\widehat {BOC}.\)
\({60^0}\)
\({80^0}\)
$120^\circ $
\({100^0}\)
Đáp án: C
Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.
Từ câu trước ta có \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), trên đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) lấy điểm \(M.\) So sánh \(AM\) và \(BM.\)
\(MA = MB\)
\(MA > MB\)
\(MA < MB\)
\(2.MA = MB\)
Đáp án : A
Sử dụng hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh từ đó suy ra \(AM = BM.\)
Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) tại trung điểm \(E\) . Do đó \(ME \bot AB;\,EA = EB.\)
Xét tam giác \(MEA\) và tam giác \(MEB\) có \(EA = EB\,\left( {cmt} \right),\) \(\widehat {MEA} = \widehat {MEB} = 90^\circ ,\) cạnh \(ME\) chung nên \(\Delta MEA = \Delta MEB\,\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(MA = MB\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {90^0}\), tia phân giác $BD$ của góc $B$ (\(D \in AC\)). Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Hai góc nào sau đây bằng nhau?
\(\widehat {EDC};\widehat {BAC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ACB}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {ABC}\)
\(\widehat {EDC};\widehat {EC{\rm{D}}}\)
Đáp án : C
Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \) và lập luận để chỉ ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}.\)
Xét hai tam giác $BDA$ và $BDE$ có:$BA = BE\left( {gt} \right),$ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do $BD$ là tia phân giác của góc B);
$BD$ là cạnh chung. Suy ra \(\Delta BDA = \Delta BDE\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)
Trong các tam giác $ABC$ và $EDC$ vuông ở $A$ và $E,$ ta có:
\(\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }\) và \(\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }\), suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\).
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$ Biết \(\widehat D = {70^0}\). Số đo góc $H$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : A
+Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$
do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\) (c.g.c).
Do đó \(\widehat H = \widehat D = {70^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
Chọn câu đúng.
\(\Delta OAD = \Delta OCB\)
\(\Delta ODA = \Delta OBC\)
\(\Delta AOD = \Delta BCO\)
\(\Delta OAD = \Delta OBC\) .
Đáp án: D
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
$OA = OB,$ góc \(O\) chung, $OD = OC$ suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\)
So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} < \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} > \widehat {CAD}\)
\(\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}\) .
Đáp án: A
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau
Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Vì \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\) Suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Đáp án : A
Xét tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\) (c.g.c)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ có: $AB = MH$ , \(\widehat A = \widehat M\). Cần thêm một điều kiện gì để hai tam giác $ABC$ và $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh:
$BC = MK$
$BC = HK$
$AC = MK$
$AC = HK$
Đáp án : C
Để tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về cạnh kề đó là:$AC = MK.$
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $MPN$ và tam giác $CBA$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc ?
\(\widehat M = \widehat A\)
\(\widehat A = \widehat P\)
\(\widehat C = \widehat M\)
\(\widehat A = \widehat N\)
Đáp án : C
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là \(\widehat C = \widehat M.\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP,$ \(\widehat C = \widehat M\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng:
\(\Delta ABC = \Delta PMN\)
\(\Delta ACB = \Delta PNM\)
\(\Delta BAC = \Delta MNP\)
\(\Delta ABC = \Delta PNM\)
Đáp án : D
Sử dụng hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc $G$ là:
\({70^0}\)
\({80^0}\)
\({90^0}\)
\({100^0}\)
Đáp án : B
+Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).
Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 6cm.$ Độ dài $DF$ là:
$4cm\;\;\;\;$
$5cm$
$6cm\;\;\;\;$
$7cm$
Đáp án : C
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về cạnh của hai tam giác bằng nhau.
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).
Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ sao cho $B,C$ nằm cùng phía với $xy.$ Kẻ $BD$ và $CE$ vuông góc với $xy.$ Chọn câu đúng.
$DE = BD + CE$
$DE = BD - CE$
$CE = BD + DE$
$CE = BD - DE$
Đáp án : A
+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.
Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)
Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$ vuông tại $D.$
\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).
Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).
Xét hai tam giác vuông $BDA$ và $AEC$ có:
\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).
Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$
Cho tam giác $ABC,D$ là trung điểm của $AB.$ Đường thẳng qua $D$ và song song với $BC$ cắt $AC$ ở $E,$ đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BC$ ở $F.$ Khi đó
\(\Delta ADE = \Delta EFC\)
\(\Delta ADE = \Delta DBF\)
\(\Delta EFC = \Delta DBF\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
+ Từ tính chất của hai đường song song suy ra các cặp góc bằng nhau, từ đó dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau
+ Từ các cặp cạnh bằng nhau ta tìm mối liên hệ giữa chúng để suy ra điều phải chứng minh
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $FBD$ có:
\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (hai góc so le trong).
$DF$ là cạnh chung
\(\widehat {{F_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong).
Vậy \(\Delta DEF = \Delta FBD\,\,\,(g.c.g)\)
Suy ra $EF = BD$ (hai cạnh tương ứng)
Mà $AD = BD$ nên $EF = AD$
Ta có : \(\widehat {{F_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị); \(\widehat {{D_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\left( { = \widehat B} \right).\).
Xét tam giác $ADE$ và tam giác $EFC$ có:
\(\widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\)(cmt)
\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\)(hai góc đồng vị)
$AD = EF\left( {cmt} \right)$
\( \Rightarrow \Delta ADE = \Delta EFC\,\,\,(g.c.g).\) (1)
Tương tự ta chứng minh được \(\Delta EFC = \Delta DBF\,\,\,(g.c.g)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ADE = \Delta EFC = \Delta DBF\) (3)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D,\) tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(E.\) Các tia phân giác đó cắt nhau ở \(I.\) Tính độ dài \(ID,\) biết \(IE = 2cm.\)
\(ID = 4cm\)
\(ID = 2cm\)
\(ID = 8cm\)
\(ID = 3cm\)
Đáp án : B
+ Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)
+ Sử dụng tính chất tia phân giác, định lí tổng ba góc của một tam giác chứng minh \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC} = 60^\circ \).
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” ta chứng minh \(\Delta BIE = \Delta BIH\), \(\Delta CID = \Delta CIH\).
+ Từ đó ta tính được độ dài \(ID\).
Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))
Mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Ta lại có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} + \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)
Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))
Mà \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
Mặt khác: \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BIE} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Khi đó \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh) \((1)\)
Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)
Suy ra \(\widehat {BIH} = \widehat {HIC} = \dfrac{1}{2}.\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)\((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC}\)
Xét tam giác \(BIE\) và tam giác \(BIH\) có:
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)
\(BI\) là cạnh chung
\(\widehat {BIE} = \widehat {BIH}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BIE = \Delta BIH \,(g.c.g) \Rightarrow IE = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((3)\)
Xét tam giác \(CID\) và tam giác \(CIH\) có:
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt)
\(CI\) là cạnh chung
\(\widehat {CID} = \widehat {HIC}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta CID = \Delta CIH \,(g.c.g) \Rightarrow ID = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra \(ID = IE = 2cm\)
Cho hai đoạn thẳng \(AB,CD\) song song với nhau. Hai đoạn thẳng này chắn giữa hai đường thẳng song song \(AC,BD\). Chọn câu đúng:
\(AB = CD\)
\(AB > CD\)
\(AB < CD\)
\(AC > BD\)
Đáp án : A
+ Kẻ đoạn thẳng \(AD\).
+ Từ tính chất của hai đường thẳng song song suy ra các cặp góc bằng nhau.
+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” để chứng minh \(\Delta ABD = \Delta DCA\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Kẻ đoạn thẳng \(AD\)
Vì \(AB//CD\) (gt) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc so le trong)
Vì \(AC//BD\) (gt) nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(DCA\) có:
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)
\(AD\) là cạnh chung
\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\,(g.c.g) \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng)
Bài 14 trong chương trình Toán 7 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu hai trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác. Việc nắm vững các trường hợp này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác trong các chương trình học tiếp theo.
Trước khi bắt đầu với phần trắc nghiệm, chúng ta cùng ôn lại lý thuyết cơ bản:
Các bài tập trắc nghiệm thường xoay quanh việc:
Câu 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, góc B = góc E, BC = EF. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án: B (Áp dụng trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh)
Câu 2: Cho tam giác MNP và tam giác RST có góc M = góc R, MP = RS, góc P = góc S. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án: B (Áp dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc)
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, góc B = 60o. Tam giác A'B'C' bằng tam giác ABC nếu:
Đáp án: B (Áp dụng trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh)
Để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập khác trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu học tập trực tuyến khác. Montoan.com.vn sẽ cung cấp thêm nhiều bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận để bạn luyện tập.
Hy vọng với bộ câu hỏi trắc nghiệm này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc ôn tập và làm bài kiểm tra môn Toán 7.
