THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài trắc nghiệm Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên, thuộc chương trình Cánh diều. Bài trắc nghiệm này được thiết kế để giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức đã học về đường vuông góc, đường xiên, và các tính chất liên quan.
Montoan.com.vn cung cấp bộ câu hỏi đa dạng, từ dễ đến khó, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải thích rõ ràng. Hãy cùng thử sức để đánh giá năng lực của bản thân nhé!
Cho góc \(\widehat {xOy} = {60^0},\) \(A\) là điểm trên tia \(Ox,\,B\) là điểm trên tia \(Oy\) \((A,B\) không trùng với \(O).\)
Chọn câu đúng nhất.
\(OA + OB \le 2AB\)
\(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
\(OA + OB \ge 2AB\)
Cả A, B đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $M$ và $N$ sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chọn câu đúng nhất.
\(MN \bot AC\)
\(AC + BC < AB + CH.\)
Cả A, B đều sai
Cả A, B đều đúng
Cho \(\Delta ABC\) có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\). Gọi $M$ là một điểm nằm giữa $H$ và $B,$ $N$ thuộc tia đối của tia $CB.$
So sánh \(HB\) và \(HC.\)
\(HB < HC\)
\(HB = HC\)
\(HB > HC\)
Cả A, B, C đều sai.
Chọn câu đúng.
\(AM < AB < AN\)
\(AM > AB > AN\)
\(AM < AB = AN\)
\(AM = AB = AN\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A.$ Trên cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $D$ và $E$ ($D,E$ không trùng với các đỉnh của \(\Delta ABC\)). Chọn đáp án đúng nhất.
\(DE > BE > BC\)
\(DE < BE < BC\)
\(DE > BE = BC\)
\(DE < BE = BC\)
Cho \(\Delta ABC\) có $CE$ và $BD$ là hai đường cao. So sánh \(BD + CE\) và \(AB + AC\) ?
\(BD + CE < AB + AC\)
\(BD + CE > AB + AC\)
\(BD + CE \le AB + AC\)
\(BD + CE \ge AB + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM.$ So sánh \(BD + BE\) và $AB.$
\(BD + BE > 2AB\)
\(BD + BE < 2AB\)
\(BD + BE = 2AB\)
\(BD + BE < AB\)
Trong tam giác \(ABC\) có chiều cao \(AH\)
Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(B\) ta lấy điểm \(H\). Khi đó
\(AH < BH\)
\(AH < AB\)
\(AH > BH\)
\(AH = BH\)
Em hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu nhỏ hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
Cho hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
\(MA > MH\)
\(HB < HC\)
\(MA = MB\)
\(MC < MA.\)
Lời giải và đáp án
Cho góc \(\widehat {xOy} = {60^0},\) \(A\) là điểm trên tia \(Ox,\,B\) là điểm trên tia \(Oy\) \((A,B\) không trùng với \(O).\)
Chọn câu đúng nhất.
\(OA + OB \le 2AB\)
\(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
\(OA + OB \ge 2AB\)
Cả A, B đều đúng.
Đáp án : D
Kẻ tia phân giác \(Ot\) của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(Ot\) và \(AB\); \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên tia \(Ot\).
Xét \(\Delta OAH\) có \(\widehat {AOH} = {30^o}\) nên \(OA = 2AH.\) Từ đó so sánh \(OA\) và \(AI\) (1)
Xét \(\Delta OBK\) có \(\widehat {BOK} = {30^o}\) nên \(OB = 2BK.\) Từ đó so sánh \(OB\) và \(BI\) (2)
Từ (1) và (2) ta so sánh được \(OA + OB\) với \(2AB.\) Từ đó xét khi nào dấu “=” xảy ra.
* Chú ý: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc \({30^o}\) bằng nửa cạnh huyền.
Kẻ tia phân giác \(Ot\) của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(Ot\) và \(AB\); \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên tia \(Ot\).
Xét \(\Delta OAH\) có \(\widehat {AOH} = {30^o}\) nên \(OA = 2AH.\)
Vì \(AH,\,AI\) lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ \(A\) đến \(Ot\) nên \(AH \le AI\) do đó \(OA \le 2AI\) (1)
Xét \(\Delta OBK\) có \(\widehat {BOK} = {30^o}\) nên \(OB = 2BK.\)
Vì \(BK,\,BI\) lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ \(B\) đến \(Ot\) nên \(BK \le BI\) do đó \(OB \le 2BI\) (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
\(OA + OB \le 2AI + 2BI = 2\left( {AI + BI} \right) = 2AB\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(H,\,I,K\) trùng nhau hay \(AB \bot Ot\) suy ra \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}.\)
Xét \(\Delta OAI\) và \(\Delta OBI\) có:
\(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}\)
\(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (vì \(Ot\) là phân giác của \(\widehat {xOy}\))
\(OI\) cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta OAI = \Delta OBI\) (g.c.g)
\( \Rightarrow OA = OB\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $M$ và $N$ sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chọn câu đúng nhất.
\(MN \bot AC\)
\(AC + BC < AB + CH.\)
Cả A, B đều sai
Cả A, B đều đúng
Đáp án : D
- Áp dụng tính chất tam giác cân.
- Áp dụng quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
Ta có: \(BM = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BMC\) cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {MCB} = \widehat {CMB}\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCM} + \widehat {MCA} = \widehat {ACB} = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat {CMH} + \widehat {MCH} = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)$
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MCN}\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MNC\) có:
$MC$ chung
\(\widehat {MCH} = \widehat {MCN}\left( {cmt} \right)\)
\(NC = HC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {MHC} = {90^0}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow MN \bot AC\) nên A đúng.
Xét \(\Delta AMN\) có $AN$ là đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $MN$ và $AM$ là đường xiên nên suy ra \(AM > AN\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = BC\left( {gt} \right)\\HC = CN\left( {gt} \right)\\AM > AN\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BM + MA + HC > BC + CN + NA\)\( \Leftrightarrow AB + HC > BC + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\). Gọi $M$ là một điểm nằm giữa $H$ và $B,$ $N$ thuộc tia đối của tia $CB.$
So sánh \(HB\) và \(HC.\)
\(HB < HC\)
\(HB = HC\)
\(HB > HC\)
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án: A
Áp dụng các định lý về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Vì \(\widehat B > \widehat C\left( {gt} \right) \)\(\Rightarrow AC > AB\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác).
Mà $HB, HC$ tương ứng là hình chiếu của $AB, AC$ trên $BC$
\( \Rightarrow HB < HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Chọn câu đúng.
\(AM < AB < AN\)
\(AM > AB > AN\)
\(AM < AB = AN\)
\(AM = AB = AN\)
Đáp án: A
Áp dụng các định lý sau:
Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác.
Vì $M$ nằm giữa $B$ và $H$ \( \Rightarrow HM < HB\) .
Mà $HM$ và $HB$ tương ứng là hình chiếu của $AM$ và $AB$ trên $BC$
$ \Rightarrow AM < AB\left( 2 \right)$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Vì $N$ thuộc tia đối của tia $CB$ thì suy ra \(HN > HC\). Mà $HN$ và $HC$ tương ứng là hình chiếu của $AN$ và $AC$ trên $BC$ \( \Rightarrow AC < AN\left( 3 \right)\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow AM < AB < AN.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A.$ Trên cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $D$ và $E$ ($D,E$ không trùng với các đỉnh của \(\Delta ABC\)). Chọn đáp án đúng nhất.
\(DE > BE > BC\)
\(DE < BE < BC\)
\(DE > BE = BC\)
\(DE < BE = BC\)
Đáp án : B
Vì $D$ nằm giữa $A$ và $B$ nên suy ra \(AD < AB\). Mà $AD$ và $AB$ lần lượt là hình chiếu của $ED$ và $EB$ trên $AB$ \( \Rightarrow ED < EB\left( 1 \right)\)( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Vì $E$ nằm giữa $A$ và $C$ nên suy ra \(AE < AC\). Mà $AE$ và $AC$ lần lượt là hình chiếu của $EB$ và $BC$ trên $AC$ \( \Rightarrow EB < BC\left( 2 \right)\)( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow ED < EB < BC\).
Cho \(\Delta ABC\) có $CE$ và $BD$ là hai đường cao. So sánh \(BD + CE\) và \(AB + AC\) ?
\(BD + CE < AB + AC\)
\(BD + CE > AB + AC\)
\(BD + CE \le AB + AC\)
\(BD + CE \ge AB + AC\)
Đáp án : A
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\left( {gt} \right)\\EC \bot AB\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)$BD$ và $CE$ là lần lượt là hai đường vuông góc của hai đường xiên $AC$ và $AB.$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD < AB\\EC < AC\end{array} \right.\) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)
\( \Rightarrow BD + EC < AB + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM.$ So sánh \(BD + BE\) và $AB.$
\(BD + BE > 2AB\)
\(BD + BE < 2AB\)
\(BD + BE = 2AB\)
\(BD + BE < AB\)
Đáp án : A
Vì \(\Delta ABM\) vuông tại $A$ (gt) nên \(BA < BM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Mà \(BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)\) .
Mặt khác, \(BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)\)
Cộng hai vế của \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)\)
Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (gt) \( \Rightarrow AM = MC\) (tính chất trung điểm)
Xét tam giác vuông $ADM$ và tam giác vuông $CEM$ có:
\(AM = MC\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {AMD} = \widehat {EMC}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB\)
Trong tam giác \(ABC\) có chiều cao \(AH\)
Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Trong tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường vuông góc và \(BH;CH\) là hai hình chiếu
Khi đó
+ Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
+ Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
+ Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Nên cả A, B, C đều đúng.
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(B\) ta lấy điểm \(H\). Khi đó
\(AH < BH\)
\(AH < AB\)
\(AH > BH\)
\(AH = BH\)
Đáp án : C
Vì \(BH\) là đường vuông góc và \(AH\) là đường xiên nên \(AH > BH.\)
Em hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu nhỏ hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
Đáp án : C
Trong các phát biểu ở ý A, B, và D đều đúng. Ý C sai vì: trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Cho hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
\(MA > MH\)
\(HB < HC\)
\(MA = MB\)
\(MC < MA.\)
Đáp án : D
Áp dụng các định lý sau:
- Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
- Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác.
Vì $MH$ là đường vuông góc và $MA$ là đường xiên nên \(MA > MH\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên). Đáp án A đúng nên loại A.
Vì \(\widehat {MBC}\) là góc ngoài của \(\Delta MHB \Rightarrow \widehat {MBC} > \widehat {MHB} = {90^0}\)
Xét \(\Delta MBC\) có: \(\widehat {MBC}\) là góc tù nên suy ra \(MC > MB\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)
Mà $HB$ và $HC$ lần lượt là hình chiếu của $MB$ và $MC$ trên $AC.$
\( \Rightarrow HB < HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu). Đáp án B đúng nên loại đáp án B.
Vì \(AH = HB\left( {gt} \right)\) mà $AH$ và $HB$ lần lượt là hai hình chiếu của $AM$ và $BM.$
\( \Rightarrow MA = MB\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu). Đáp án C đúng nên loại đáp án C.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MB = MA\left( {cmt} \right)\\MC > MB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MC > MA\). Đáp án D sai nên chọn đáp án D.
Cho góc \(\widehat {xOy} = {60^0},\) \(A\) là điểm trên tia \(Ox,\,B\) là điểm trên tia \(Oy\) \((A,B\) không trùng với \(O).\)
Chọn câu đúng nhất.
\(OA + OB \le 2AB\)
\(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
\(OA + OB \ge 2AB\)
Cả A, B đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $M$ và $N$ sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chọn câu đúng nhất.
\(MN \bot AC\)
\(AC + BC < AB + CH.\)
Cả A, B đều sai
Cả A, B đều đúng
Cho \(\Delta ABC\) có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\). Gọi $M$ là một điểm nằm giữa $H$ và $B,$ $N$ thuộc tia đối của tia $CB.$
So sánh \(HB\) và \(HC.\)
\(HB < HC\)
\(HB = HC\)
\(HB > HC\)
Cả A, B, C đều sai.
Chọn câu đúng.
\(AM < AB < AN\)
\(AM > AB > AN\)
\(AM < AB = AN\)
\(AM = AB = AN\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A.$ Trên cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $D$ và $E$ ($D,E$ không trùng với các đỉnh của \(\Delta ABC\)). Chọn đáp án đúng nhất.
\(DE > BE > BC\)
\(DE < BE < BC\)
\(DE > BE = BC\)
\(DE < BE = BC\)
Cho \(\Delta ABC\) có $CE$ và $BD$ là hai đường cao. So sánh \(BD + CE\) và \(AB + AC\) ?
\(BD + CE < AB + AC\)
\(BD + CE > AB + AC\)
\(BD + CE \le AB + AC\)
\(BD + CE \ge AB + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM.$ So sánh \(BD + BE\) và $AB.$
\(BD + BE > 2AB\)
\(BD + BE < 2AB\)
\(BD + BE = 2AB\)
\(BD + BE < AB\)
Trong tam giác \(ABC\) có chiều cao \(AH\)
Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(B\) ta lấy điểm \(H\). Khi đó
\(AH < BH\)
\(AH < AB\)
\(AH > BH\)
\(AH = BH\)
Em hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu nhỏ hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
Cho hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
\(MA > MH\)
\(HB < HC\)
\(MA = MB\)
\(MC < MA.\)
Cho góc \(\widehat {xOy} = {60^0},\) \(A\) là điểm trên tia \(Ox,\,B\) là điểm trên tia \(Oy\) \((A,B\) không trùng với \(O).\)
Chọn câu đúng nhất.
\(OA + OB \le 2AB\)
\(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
\(OA + OB \ge 2AB\)
Cả A, B đều đúng.
Đáp án : D
Kẻ tia phân giác \(Ot\) của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(Ot\) và \(AB\); \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên tia \(Ot\).
Xét \(\Delta OAH\) có \(\widehat {AOH} = {30^o}\) nên \(OA = 2AH.\) Từ đó so sánh \(OA\) và \(AI\) (1)
Xét \(\Delta OBK\) có \(\widehat {BOK} = {30^o}\) nên \(OB = 2BK.\) Từ đó so sánh \(OB\) và \(BI\) (2)
Từ (1) và (2) ta so sánh được \(OA + OB\) với \(2AB.\) Từ đó xét khi nào dấu “=” xảy ra.
* Chú ý: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc \({30^o}\) bằng nửa cạnh huyền.
Kẻ tia phân giác \(Ot\) của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.\)
Gọi \(I\) là giao của \(Ot\) và \(AB\); \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên tia \(Ot\).
Xét \(\Delta OAH\) có \(\widehat {AOH} = {30^o}\) nên \(OA = 2AH.\)
Vì \(AH,\,AI\) lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ \(A\) đến \(Ot\) nên \(AH \le AI\) do đó \(OA \le 2AI\) (1)
Xét \(\Delta OBK\) có \(\widehat {BOK} = {30^o}\) nên \(OB = 2BK.\)
Vì \(BK,\,BI\) lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ \(B\) đến \(Ot\) nên \(BK \le BI\) do đó \(OB \le 2BI\) (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
\(OA + OB \le 2AI + 2BI = 2\left( {AI + BI} \right) = 2AB\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(H,\,I,K\) trùng nhau hay \(AB \bot Ot\) suy ra \(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}.\)
Xét \(\Delta OAI\) và \(\Delta OBI\) có:
\(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}\)
\(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (vì \(Ot\) là phân giác của \(\widehat {xOy}\))
\(OI\) cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta OAI = \Delta OBI\) (g.c.g)
\( \Rightarrow OA = OB\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(OA + OB = 2AB\) khi \(OA = OB.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $M$ và $N$ sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chọn câu đúng nhất.
\(MN \bot AC\)
\(AC + BC < AB + CH.\)
Cả A, B đều sai
Cả A, B đều đúng
Đáp án : D
- Áp dụng tính chất tam giác cân.
- Áp dụng quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
Ta có: \(BM = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BMC\) cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {MCB} = \widehat {CMB}\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCM} + \widehat {MCA} = \widehat {ACB} = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat {CMH} + \widehat {MCH} = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)$
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MCN}\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MNC\) có:
$MC$ chung
\(\widehat {MCH} = \widehat {MCN}\left( {cmt} \right)\)
\(NC = HC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {MHC} = {90^0}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow MN \bot AC\) nên A đúng.
Xét \(\Delta AMN\) có $AN$ là đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $MN$ và $AM$ là đường xiên nên suy ra \(AM > AN\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = BC\left( {gt} \right)\\HC = CN\left( {gt} \right)\\AM > AN\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BM + MA + HC > BC + CN + NA\)\( \Leftrightarrow AB + HC > BC + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\). Gọi $M$ là một điểm nằm giữa $H$ và $B,$ $N$ thuộc tia đối của tia $CB.$
So sánh \(HB\) và \(HC.\)
\(HB < HC\)
\(HB = HC\)
\(HB > HC\)
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án: A
Áp dụng các định lý về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Vì \(\widehat B > \widehat C\left( {gt} \right) \)\(\Rightarrow AC > AB\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác).
Mà $HB, HC$ tương ứng là hình chiếu của $AB, AC$ trên $BC$
\( \Rightarrow HB < HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Chọn câu đúng.
\(AM < AB < AN\)
\(AM > AB > AN\)
\(AM < AB = AN\)
\(AM = AB = AN\)
Đáp án: A
Áp dụng các định lý sau:
Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác.
Vì $M$ nằm giữa $B$ và $H$ \( \Rightarrow HM < HB\) .
Mà $HM$ và $HB$ tương ứng là hình chiếu của $AM$ và $AB$ trên $BC$
$ \Rightarrow AM < AB\left( 2 \right)$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Vì $N$ thuộc tia đối của tia $CB$ thì suy ra \(HN > HC\). Mà $HN$ và $HC$ tương ứng là hình chiếu của $AN$ và $AC$ trên $BC$ \( \Rightarrow AC < AN\left( 3 \right)\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow AM < AB < AN.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A.$ Trên cạnh $AB$ và $AC$ lấy tương ứng hai điểm $D$ và $E$ ($D,E$ không trùng với các đỉnh của \(\Delta ABC\)). Chọn đáp án đúng nhất.
\(DE > BE > BC\)
\(DE < BE < BC\)
\(DE > BE = BC\)
\(DE < BE = BC\)
Đáp án : B
Vì $D$ nằm giữa $A$ và $B$ nên suy ra \(AD < AB\). Mà $AD$ và $AB$ lần lượt là hình chiếu của $ED$ và $EB$ trên $AB$ \( \Rightarrow ED < EB\left( 1 \right)\)( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Vì $E$ nằm giữa $A$ và $C$ nên suy ra \(AE < AC\). Mà $AE$ và $AC$ lần lượt là hình chiếu của $EB$ và $BC$ trên $AC$ \( \Rightarrow EB < BC\left( 2 \right)\)( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow ED < EB < BC\).
Cho \(\Delta ABC\) có $CE$ và $BD$ là hai đường cao. So sánh \(BD + CE\) và \(AB + AC\) ?
\(BD + CE < AB + AC\)
\(BD + CE > AB + AC\)
\(BD + CE \le AB + AC\)
\(BD + CE \ge AB + AC\)
Đáp án : A
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\left( {gt} \right)\\EC \bot AB\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)$BD$ và $CE$ là lần lượt là hai đường vuông góc của hai đường xiên $AC$ và $AB.$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD < AB\\EC < AC\end{array} \right.\) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)
\( \Rightarrow BD + EC < AB + AC\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM.$ So sánh \(BD + BE\) và $AB.$
\(BD + BE > 2AB\)
\(BD + BE < 2AB\)
\(BD + BE = 2AB\)
\(BD + BE < AB\)
Đáp án : A
Vì \(\Delta ABM\) vuông tại $A$ (gt) nên \(BA < BM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Mà \(BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)\) .
Mặt khác, \(BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)\)
Cộng hai vế của \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)\)
Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (gt) \( \Rightarrow AM = MC\) (tính chất trung điểm)
Xét tam giác vuông $ADM$ và tam giác vuông $CEM$ có:
\(AM = MC\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {AMD} = \widehat {EMC}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB\)
Trong tam giác \(ABC\) có chiều cao \(AH\)
Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Trong tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường vuông góc và \(BH;CH\) là hai hình chiếu
Khi đó
+ Nếu \(AB < AC\) thì \(BH < HC\)
+ Nếu \(BH < HC\) thì \(AB < AC\)
+ Nếu \(BH = HC\) thì \(AB = AC\)
Nên cả A, B, C đều đúng.
Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng, \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(B\) ta lấy điểm \(H\). Khi đó
\(AH < BH\)
\(AH < AB\)
\(AH > BH\)
\(AH = BH\)
Đáp án : C
Vì \(BH\) là đường vuông góc và \(AH\) là đường xiên nên \(AH > BH.\)
Em hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu nhỏ hơn
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
Đáp án : C
Trong các phát biểu ở ý A, B, và D đều đúng. Ý C sai vì: trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
Cho hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
\(MA > MH\)
\(HB < HC\)
\(MA = MB\)
\(MC < MA.\)
Đáp án : D
Áp dụng các định lý sau:
- Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
- Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác.
Vì $MH$ là đường vuông góc và $MA$ là đường xiên nên \(MA > MH\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên). Đáp án A đúng nên loại A.
Vì \(\widehat {MBC}\) là góc ngoài của \(\Delta MHB \Rightarrow \widehat {MBC} > \widehat {MHB} = {90^0}\)
Xét \(\Delta MBC\) có: \(\widehat {MBC}\) là góc tù nên suy ra \(MC > MB\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)
Mà $HB$ và $HC$ lần lượt là hình chiếu của $MB$ và $MC$ trên $AC.$
\( \Rightarrow HB < HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu). Đáp án B đúng nên loại đáp án B.
Vì \(AH = HB\left( {gt} \right)\) mà $AH$ và $HB$ lần lượt là hai hình chiếu của $AM$ và $BM.$
\( \Rightarrow MA = MB\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu). Đáp án C đúng nên loại đáp án C.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MB = MA\left( {cmt} \right)\\MC > MB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MC > MA\). Đáp án D sai nên chọn đáp án D.
Bài 8 trong chương trình Toán 7 Cánh diều tập trung vào việc tìm hiểu về đường vuông góc và đường xiên. Đây là những khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng và khoảng cách.
Đường vuông góc là đường thẳng tạo với đường thẳng khác một góc vuông (90 độ). Để xác định hai đường thẳng vuông góc, ta thường sử dụng ký hiệu ⊥. Ví dụ, AB ⊥ CD có nghĩa là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.
Đường xiên là một đoạn thẳng nối một điểm với đường thẳng khác, không vuông góc với đường thẳng đó. Đường xiên có tính chất quan trọng là luôn lớn hơn đường vuông góc kẻ từ cùng một điểm đến đường thẳng đó. Điều này được thể hiện qua bất đẳng thức: Nếu AC là đường vuông góc và AB là đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d, thì AC < AB.
Trong bài học này, học sinh sẽ được làm quen với các dạng bài tập sau:
Để giải các bài tập trắc nghiệm về đường vuông góc và đường xiên, học sinh cần nắm vững các khái niệm, định nghĩa và tính chất đã học. Ngoài ra, việc vẽ hình minh họa sẽ giúp học sinh dễ dàng hình dung và tìm ra lời giải chính xác.
Câu hỏi: Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. Tính độ dài AD.
Giải:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Học toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm bài tập và tìm hiểu các phương pháp giải khác nhau. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tốt!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Đường vuông góc | Đường thẳng tạo với đường thẳng khác một góc vuông. |
| Đường xiên | Đoạn thẳng nối một điểm với đường thẳng khác, không vuông góc với đường thẳng đó. |
| Bảng tóm tắt các khái niệm quan trọng. | |
