Trắc nghiệm Các dạng toán về ước chung, ước chung lớn nhất Toán 6 Kết nối tri thức

- Sử dụng kiến thức ước của một số và ước chung của hai hay nhiều số.

- Viết (liệt kê) các phần tử tập hợp.

Ta có:

Ư$(6) = \left\{ {{\rm{1,2,3,6}}} \right\}$ và Ư${\rm{(20) = }}\left\{ {{\rm{1,2,4,5,10,20}}} \right\}$

Vậy ƯC${\rm{(6,20) = }}\left\{ {{\rm{1,2}}} \right\}$

Tìm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B.$

 Các phần tử chung của hai tập hợp là Toán và Văn nên $C = \{ $Toán, Văn$\} $

- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Tìm thừa số nguyên tố chung.

- Lập tích của các số tìm được với số mũ nhỏ nhất.

Tích đó chính là ước chung lớn nhất.

Ta có: \(15 = 3.5;\) \(45 = {3^2}.5;\) \(225 = {5^2}{.3^2}\)

Nên ƯCLN\(\left( {15;45;225} \right) = 3.5 = 15.\)

Tìm ƯCLN bằng cách lập tích các thừa số chung. Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Ta có \(a = {3^2}.5.7;b = {2^4}.3.7\) nên ƯCLN$\left( {a,b} \right) = 3.7$

Vì $x$ lớn nhất và \(18 \, \vdots \, x\) và \(32 \, \vdots \, x.\)Nên $x$ cần tìm chính là ƯCLN$\left( {32;18} \right)$Bài toán quy về bài toán tìm ƯCLN

Ta có \(18 \, \vdots \, x \Rightarrow x \in \) Ư$\left( {18} \right)$; \(32 \, \vdots \, x \)\(\Rightarrow x \in \) Ư\(\left( {32} \right)\) suy ra \(x \in \) ƯC\(\left( {18;32} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất nên \(x = \) ƯCLN\(\left( {18;32} \right)\)

Ta có \(18 = {2.3^2};\,32 = {2^5}\) nên ƯCLN\(\left( {18;32} \right) = 2\)

Hay \(x = 2.\)

- Rút gọn các phân số đã cho về phân số tối giản.

- Nếu phân số tối giản là \(\dfrac{4}{9}\) thì phân số ban đầu bằng \(\dfrac{4}{9}\).

ƯCLN(48,108)=12

=>\(\dfrac{{48}}{{108}} = \dfrac{4}{9}\)

ƯCLN(80,180)=20

=> \(\dfrac{{80}}{{180}} = \dfrac{4}{9}\)

ƯCLN(60,130)=10

=>\(\dfrac{{60}}{{130}} = \dfrac{6}{{13}}\)

ƯCLN(135,270)=135

=>\(\dfrac{{135}}{{270}} = \dfrac{1}{2}\)

Phân số \(\dfrac{4}{9}\) bằng các phân số \(\dfrac{{48}}{{108}};\dfrac{{80}}{{180}}\).

Vậy có 2 phân số bằng \(\dfrac{4}{9}\)

Vì $x + 160$ và $x + 300$ là bội của $x$ nên $x \in $ ƯC$\left( {x + 160;x + 300} \right)$Vì $x \vdots x$ và $x$ lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Ta có: Vì $x + 160$ và $x + 300$ đều là bội của $x$ nên $\left( {x + 160} \right) \vdots x$ và $\left( {x + 300} \right) \vdots x$Vì $x \vdots x$ nên $160 \vdots x$ và $300 \vdots x$Suy ra $x \in $ ƯC$\left( {160;300} \right)$ Vì $x$ lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$$160 = {2^5}.5$ và $300 = {2^2}{.3.5^2}$ Suy ra $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$$ = {2^2}.5 = 20$

+ Gọi cạnh mỗi thửa đất hình vuông chia được là $x$$\left( m \right)$

+ Diện tích của thửa ruộng lớn nhất khi $x$ lớn nhất.

+ Đưa về bài toán tìm ƯCLN: \(x = \) ƯCLN\(\left( {60;24} \right)\)

Gọi cạnh mỗi thửa đất hình vuông chia được là $x$$\left( m \right)$ Để diện tích các thửa đất đó là lớn nhất thì $x$ phải lớn nhất Vì các thửa đất đó được chia ra từ đám đất hình chữ nhật ban đầu có chiều dài $60$m và $24$m Nên $x$ phải là ước của $60$ và $24$ Hay $x \in $ƯC$\left( {60;24} \right)$Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$(60;24)$ Ta có: $60 = {2^2}.3.5$; $24 = {2^3}.3$ $ \Rightarrow x = $ ƯCLN$\left( {60;24} \right) = {2^2}.3 = 12.$ Vậy mỗi thửa đất hình vuông đó có độ dài cạnh lớn nhất là $12m.$

Vì $x + 220$ và $x + 180$ là bội của $x$ nên $x \in $ƯC$\left( {x + 220;x + 180} \right)$ Vì $x \, \vdots \, x$ và $x$ lớn nhất $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {220;180} \right)$ Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Vì $x + 220$ và $x + 180$ đều là bội của $x$ nên $\left( {x + 220} \right) \vdots \, x$ và $\left( {x + 180} \right) \vdots \, x$ Vì $x \, \vdots \, x$ $ \Rightarrow 220 \, \vdots \, x$ và $180 \, \vdots \, x$ $ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {220;180} \right)$ Vì $x$ lớn nhất $ \Rightarrow x \in $ƯCLN$\left( {220;180} \right)$ $220 = {2^2}.5.11$ ; $180 = {2^2}.3^2.5$ $ \Rightarrow x = $ƯCLN\(\left( {220;180} \right) = \) ${2^2}.5 = 20$

Gọi số túi chia được là $x$ (túi) Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi bằng nhau nên $48 \vdots x;$ $30 \vdots x$ và $60 \vdots x$ Số túi nhiều nhất mà Hoa chia được chính là ƯCLN$\left( {48;30;60} \right)$

Ta có: Gọi số túi mà Hoa chia được là $x$ (túi) Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên $48 \vdots x$ ; $30 \vdots x$ và $60 \vdots x$ $ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {48;30;60} \right)$ Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ƯCLN$\left( {48;30;60} \right)$Ta có: $48 = {2^4}.3$; $30 = 2.3.5$ ; $60 = {2^2}.3.5$ $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {48;30;60} \right) = 2.3 = 6$.Vậy Hoa chia được nhiều nhất là $6$ túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

+Tìm các ước chung nhỏ hơn \(40\) của \(120\) và \(200.\)

+) Vì \(120 \, \vdots \, x\) nên \(x \in \)Ư\(\left( {120} \right)\)\( = \left\{ {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120} \right\}\)

+) Vì \(200 \, \vdots \, x\) nên \(x \in \)Ư\(\left( {200} \right)\)\( = \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;25; 40;50;100;200} \right\}\)

Nên \(x \in \)ƯC\(\left( {120;200} \right) = \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;40} \right\}\) mà \(x < 40\) nên \(x \in \left\{ {1;2;4; 5;8;10;20} \right\}.\)

Vì muốn lát gạch kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch phải là ước của $680$ và $480.$Để viên gạch có độ dài lớn nhất thì đồ dài cạnh viên gạch bằng ƯCLN$\left( {680;480} \right).$

Ta có: Gọi chiều dài viên gạch là $x.$Để lát kín căn phòng mà không có có viên gạch nào bị cắt xén thì $x$ phải là ước của chiều dài và chiều rộng căn phòng Hay $680 \, \vdots \, x$ và $480 \, \vdots \, x$$ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {680;480} \right)$Để x là lớn nhất $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {680;480} \right)$Ta có: $680 = {2^3}.5.17;$ $480 = {2^5}.3.5$$ \Rightarrow x = $ ƯCLN$\left( {680;480} \right)$$ = {2^3}.5 = 40$Vậy để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch lớn nhất là $40$ $cm.$

+ Tìm ƯCLN\(\left( {44;56} \right)\) và ƯCLN\(\left( {48;72} \right)\) rồi so sánh hai số thu được.

+ Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ta có \(44 = {2^2}.11;\,56 = {2^3}.7\) nên ƯCLN\(\left( {44;56} \right) = {2^2} = 4.\)

Lại có \(48 = {2^4}.3;\,72 = {2^3}{.3^2}\) nên ƯCLN\(\left( {48;72} \right) = {2^3}.3 = 24.\)

Nên ƯCLN$\left( {44;56} \right) < $ ƯCLN\(\left( {48;72} \right)\)

Vì số nam ở mỗi nhóm bằng nhau nên số nhóm là ước của 18 Số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau nên số nhóm là ước của 24 Số nhóm nhiều nhất bằng ƯCLN(18; 24)

Ta có: Gọi số nhóm chia được là $x$ (nhóm) Vì có $18$ nam mà số nam ở mỗi nhóm bằng nhau nên $18 \vdots x$ Vì có $24$ nữ mà số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau nên $24 \vdots x$ Suy ra $x \in $ƯC$\left( {18;24} \right)$ Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {18;24} \right)$Ta có: $18 = {2.3^2}$ ; $24 = {2^3}.3$Suy ra $x = $ ƯCLN$\left( {18;24} \right) = 2.3 = 6$Vậy chia được nhiều nhất là $6$ nhóm.

Số hàng dọc nhiều nhất mỗi lớp có thể xếp là ước chung lớn nhất của \(40;48\) và \(32.\)

Đưa về bài toán tìm ƯCLN\(\left( {40;48;32} \right)\) bằng các bước

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là ước chung lớn nhất của \(40;48\) và \(32.\)

Ta có \(40 = {2^3}.5;\) \(48 = {2^4}.3;\,32 = {2^5}.\)

ƯCLN\(\left( {40;48;32} \right) = {2^3} = 8\)

Vậy số hàng dọc nhiều nhất mỗi lớp xếp được là \(8\) hàng.

- Sử dụng kiến thức ước của một số và ước chung của hai hay nhiều số.

- Viết (liệt kê) các phần tử tập hợp.

Ta có:

Ư$(6) = \left\{ {{\rm{1,2,3,6}}} \right\}$ và Ư${\rm{(20) = }}\left\{ {{\rm{1,2,4,5,10,20}}} \right\}$

Vậy ƯC${\rm{(6,20) = }}\left\{ {{\rm{1,2}}} \right\}$

Tìm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $A$ và $B.$

 Các phần tử chung của hai tập hợp là Toán và Văn nên $C = \{ $Toán, Văn$\} $

- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Tìm thừa số nguyên tố chung.

- Lập tích của các số tìm được với số mũ nhỏ nhất.

Tích đó chính là ước chung lớn nhất.

Ta có: \(15 = 3.5;\) \(45 = {3^2}.5;\) \(225 = {5^2}{.3^2}\)

Nên ƯCLN\(\left( {15;45;225} \right) = 3.5 = 15.\)

Tìm ƯCLN bằng cách lập tích các thừa số chung. Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Ta có \(a = {3^2}.5.7;b = {2^4}.3.7\) nên ƯCLN$\left( {a,b} \right) = 3.7$

Vì $x$ lớn nhất và \(18 \, \vdots \, x\) và \(32 \, \vdots \, x.\)Nên $x$ cần tìm chính là ƯCLN$\left( {32;18} \right)$Bài toán quy về bài toán tìm ƯCLN

Ta có \(18 \, \vdots \, x \Rightarrow x \in \) Ư$\left( {18} \right)$; \(32 \, \vdots \, x \)\(\Rightarrow x \in \) Ư\(\left( {32} \right)\) suy ra \(x \in \) ƯC\(\left( {18;32} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất nên \(x = \) ƯCLN\(\left( {18;32} \right)\)

Ta có \(18 = {2.3^2};\,32 = {2^5}\) nên ƯCLN\(\left( {18;32} \right) = 2\)

Hay \(x = 2.\)

- Rút gọn các phân số đã cho về phân số tối giản.

- Nếu phân số tối giản là \(\dfrac{4}{9}\) thì phân số ban đầu bằng \(\dfrac{4}{9}\).

ƯCLN(48,108)=12

=>\(\dfrac{{48}}{{108}} = \dfrac{4}{9}\)

ƯCLN(80,180)=20

=> \(\dfrac{{80}}{{180}} = \dfrac{4}{9}\)

ƯCLN(60,130)=10

=>\(\dfrac{{60}}{{130}} = \dfrac{6}{{13}}\)

ƯCLN(135,270)=135

=>\(\dfrac{{135}}{{270}} = \dfrac{1}{2}\)

Phân số \(\dfrac{4}{9}\) bằng các phân số \(\dfrac{{48}}{{108}};\dfrac{{80}}{{180}}\).

Vậy có 2 phân số bằng \(\dfrac{4}{9}\)

Vì $x + 160$ và $x + 300$ là bội của $x$ nên $x \in $ ƯC$\left( {x + 160;x + 300} \right)$Vì $x \vdots x$ và $x$ lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Ta có: Vì $x + 160$ và $x + 300$ đều là bội của $x$ nên $\left( {x + 160} \right) \vdots x$ và $\left( {x + 300} \right) \vdots x$Vì $x \vdots x$ nên $160 \vdots x$ và $300 \vdots x$Suy ra $x \in $ ƯC$\left( {160;300} \right)$ Vì $x$ lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$$160 = {2^5}.5$ và $300 = {2^2}{.3.5^2}$ Suy ra $x = $ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$$ = {2^2}.5 = 20$

+ Gọi cạnh mỗi thửa đất hình vuông chia được là $x$$\left( m \right)$

+ Diện tích của thửa ruộng lớn nhất khi $x$ lớn nhất.

+ Đưa về bài toán tìm ƯCLN: \(x = \) ƯCLN\(\left( {60;24} \right)\)

Gọi cạnh mỗi thửa đất hình vuông chia được là $x$$\left( m \right)$ Để diện tích các thửa đất đó là lớn nhất thì $x$ phải lớn nhất Vì các thửa đất đó được chia ra từ đám đất hình chữ nhật ban đầu có chiều dài $60$m và $24$m Nên $x$ phải là ước của $60$ và $24$ Hay $x \in $ƯC$\left( {60;24} \right)$Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$(60;24)$ Ta có: $60 = {2^2}.3.5$; $24 = {2^3}.3$ $ \Rightarrow x = $ ƯCLN$\left( {60;24} \right) = {2^2}.3 = 12.$ Vậy mỗi thửa đất hình vuông đó có độ dài cạnh lớn nhất là $12m.$

Vì $x + 220$ và $x + 180$ là bội của $x$ nên $x \in $ƯC$\left( {x + 220;x + 180} \right)$ Vì $x \, \vdots \, x$ và $x$ lớn nhất $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {220;180} \right)$ Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Vì $x + 220$ và $x + 180$ đều là bội của $x$ nên $\left( {x + 220} \right) \vdots \, x$ và $\left( {x + 180} \right) \vdots \, x$ Vì $x \, \vdots \, x$ $ \Rightarrow 220 \, \vdots \, x$ và $180 \, \vdots \, x$ $ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {220;180} \right)$ Vì $x$ lớn nhất $ \Rightarrow x \in $ƯCLN$\left( {220;180} \right)$ $220 = {2^2}.5.11$ ; $180 = {2^2}.3^2.5$ $ \Rightarrow x = $ƯCLN\(\left( {220;180} \right) = \) ${2^2}.5 = 20$

Gọi số túi chia được là $x$ (túi) Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi bằng nhau nên $48 \vdots x;$ $30 \vdots x$ và $60 \vdots x$ Số túi nhiều nhất mà Hoa chia được chính là ƯCLN$\left( {48;30;60} \right)$

Ta có: Gọi số túi mà Hoa chia được là $x$ (túi) Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên $48 \vdots x$ ; $30 \vdots x$ và $60 \vdots x$ $ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {48;30;60} \right)$ Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ƯCLN$\left( {48;30;60} \right)$Ta có: $48 = {2^4}.3$; $30 = 2.3.5$ ; $60 = {2^2}.3.5$ $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {48;30;60} \right) = 2.3 = 6$.Vậy Hoa chia được nhiều nhất là $6$ túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

+Tìm các ước chung nhỏ hơn \(40\) của \(120\) và \(200.\)

+) Vì \(120 \, \vdots \, x\) nên \(x \in \)Ư\(\left( {120} \right)\)\( = \left\{ {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120} \right\}\)

+) Vì \(200 \, \vdots \, x\) nên \(x \in \)Ư\(\left( {200} \right)\)\( = \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;25; 40;50;100;200} \right\}\)

Nên \(x \in \)ƯC\(\left( {120;200} \right) = \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;40} \right\}\) mà \(x < 40\) nên \(x \in \left\{ {1;2;4; 5;8;10;20} \right\}.\)

Vì muốn lát gạch kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch phải là ước của $680$ và $480.$Để viên gạch có độ dài lớn nhất thì đồ dài cạnh viên gạch bằng ƯCLN$\left( {680;480} \right).$

Ta có: Gọi chiều dài viên gạch là $x.$Để lát kín căn phòng mà không có có viên gạch nào bị cắt xén thì $x$ phải là ước của chiều dài và chiều rộng căn phòng Hay $680 \, \vdots \, x$ và $480 \, \vdots \, x$$ \Rightarrow x \in $ ƯC$\left( {680;480} \right)$Để x là lớn nhất $ \Rightarrow x = $ƯCLN$\left( {680;480} \right)$Ta có: $680 = {2^3}.5.17;$ $480 = {2^5}.3.5$$ \Rightarrow x = $ ƯCLN$\left( {680;480} \right)$$ = {2^3}.5 = 40$Vậy để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch lớn nhất là $40$ $cm.$

+ Tìm ƯCLN\(\left( {44;56} \right)\) và ƯCLN\(\left( {48;72} \right)\) rồi so sánh hai số thu được.

+ Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ta có \(44 = {2^2}.11;\,56 = {2^3}.7\) nên ƯCLN\(\left( {44;56} \right) = {2^2} = 4.\)

Lại có \(48 = {2^4}.3;\,72 = {2^3}{.3^2}\) nên ƯCLN\(\left( {48;72} \right) = {2^3}.3 = 24.\)

Nên ƯCLN$\left( {44;56} \right) < $ ƯCLN\(\left( {48;72} \right)\)

Vì số nam ở mỗi nhóm bằng nhau nên số nhóm là ước của 18 Số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau nên số nhóm là ước của 24 Số nhóm nhiều nhất bằng ƯCLN(18; 24)

Ta có: Gọi số nhóm chia được là $x$ (nhóm) Vì có $18$ nam mà số nam ở mỗi nhóm bằng nhau nên $18 \vdots x$ Vì có $24$ nữ mà số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau nên $24 \vdots x$ Suy ra $x \in $ƯC$\left( {18;24} \right)$ Vì $x$ là lớn nhất nên $x = $ ƯCLN$\left( {18;24} \right)$Ta có: $18 = {2.3^2}$ ; $24 = {2^3}.3$Suy ra $x = $ ƯCLN$\left( {18;24} \right) = 2.3 = 6$Vậy chia được nhiều nhất là $6$ nhóm.

Số hàng dọc nhiều nhất mỗi lớp có thể xếp là ước chung lớn nhất của \(40;48\) và \(32.\)

Đưa về bài toán tìm ƯCLN\(\left( {40;48;32} \right)\) bằng các bước

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là ước chung lớn nhất của \(40;48\) và \(32.\)

Ta có \(40 = {2^3}.5;\) \(48 = {2^4}.3;\,32 = {2^5}.\)

ƯCLN\(\left( {40;48;32} \right) = {2^3} = 8\)

Vậy số hàng dọc nhiều nhất mỗi lớp xếp được là \(8\) hàng.