THCS
THCS
Dạng 3: Các bài toán về phép chia có dư là một phần quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Nắm vững kiến thức về phép chia có dư không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cơ bản mà còn là bước đệm vững chắc cho các kiến thức toán học phức tạp hơn ở các lớp trên.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, được thiết kế để giúp học sinh hiểu rõ bản chất của phép chia có dư và rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
Thay x và y bởi những chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên N = x459y mà khi chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1. Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3 ; 4 ;5 và 7 đều dư 1.
Phương pháp giải: - Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 ; 3; ;5 ; 7 hoặc 9 - Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6 ; dư 2 thì chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7; dư 3 thì chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 và dư 4 thì chữ số tận cùng bằng 4 hoặc 9. - Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2 Cũng có tính chất tương tự đối với các trường hợp khi chia cho 3 ; 4 ; 5 hoặc 9. - Nếu a chia cho b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b. - Nếu a chia cho b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b |
Ví dụ 1: Thay x và y bởi những chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên N = $\overline {x459y} $ mà khi chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1.
Giải
N chia cho 5 dư 1 nên y = 1 bằng 1 hoặc 6.
Mặt khác, N chia 2 dư 1 nên y = 1. Thay vào ta được N = $\overline {x4591} $
N chia cho 9 dư 1 nên x + 4 + 5 + 9 + 1 = x + 19 chia cho 9 dư 1. Suy ra x = 0 hoặc 9. Mà x không thể bằng 0 nên x = 9.
Vậy x = 9 ; y = 1 và N = 94591.
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiênbé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3 ; 4 ;5 và 7 đều dư 1.
Giải:
Gọi số cần tìm là a.
Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5; 7 đều dư 1 nên b = a - 1 chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7.
b chia hết cho 4 và 5 nên b có tận cùng là 0.
- Trường hợp b có 1 chữ số: b = 0 Suy ra a = 1 (loại vì số phải tìm lớn hơn 1)
- Trường hợp b có 2 chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 (loại vì 70 không chia hết cho 3).
- Trường hợp b có 3 chữ số: b có tận cùng là 0, vậy b = $\overline {xy0} $
+ Vì b chia hết cho 4 nên y bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8;
+ Số $\overline {xy0} $ chia hết cho 7 nên b có thể là: 140; 280; 420; 560; 700; 840 hoặc 980.
Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 nên b bằng 420 hoặc 840
Suy ra a bằng 421 hoặc 841.
Vậy số bé nhất khi chia số đó cho 3 ; 4 ;5 và 7 đều dư 1 là 421.
Ví dụ 3: Hãy viết thêm vào bên trái và bên phải số 35 mỗi bên một chữ số để nhận được số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà khi chia cho 3 dư 2, cho 5 dư 3.
Giải
Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b. Số cần tìm có dạng n = $\overline {a35b} $.
Vì n chia cho 5 dư 3 nên b bằng 3 hoặc 8.
Mặt khác n là số chẵn nên b = 8. Thay vào ta được n = $\overline {a358} $
Vì n chia cho 3 dư 2 nên a + 3 + 5 + 8 = a + 16 chia cho 3 dư 2.
Suy ra a bằng 1 ; 4 hoặc 7.
Số lớn nhất cần tìm là 7358.
Ví dụ 4: Tổng số học sinh khối lớp Một của một trường tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm là 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư. Tính số học sinh khối lớp 1 của trường đó?
Giải
Theo đề bài, số học sinh khối lớp Một của trường có dạng $\overline {3ab} $.
Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8. Thay vào ta được số $\overline {3a8} $
Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8, nên số $\overline {3a8} $ - 8 = $\overline {3a0} $ phải chia hết cho 12. Suy ra a bằng 0 hoặc 6.
Vì 308 không chia hết cho 8 nên số học sinh khối lớp Một của trường đó là 368 em.
Phép chia có dư là một trong những phép tính cơ bản mà học sinh lớp 5 cần nắm vững. Dạng 3: Các bài toán về phép chia có dư trong chương trình Toán nâng cao đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu rõ cách thực hiện phép chia mà còn phải vận dụng linh hoạt để giải quyết các bài toán có tính ứng dụng cao.
Trước khi đi vào giải các bài toán nâng cao, chúng ta cần ôn lại kiến thức cơ bản về phép chia có dư:
Công thức: Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư
Để giải các bài toán chia có dư một cách hiệu quả, học sinh cần:
Ví dụ 1: Một tổ có 25 bạn học sinh. Cô giáo muốn chia đều các bạn thành các nhóm, mỗi nhóm có 6 bạn. Hỏi có thể chia được bao nhiêu nhóm và còn dư bao nhiêu bạn?
Giải:
Số nhóm chia được là: 25 : 6 = 4 (nhóm) (dư 1 bạn)
Vậy có thể chia được 4 nhóm và còn dư 1 bạn.
Ví dụ 2: Một người có 85 quả táo. Người đó muốn chia đều số táo cho các bạn, mỗi bạn được 5 quả. Hỏi người đó chia được cho bao nhiêu bạn và còn dư bao nhiêu quả táo?
Giải:
Số bạn chia được là: 85 : 5 = 17 (bạn)
Vậy người đó chia được cho 17 bạn và không còn dư quả táo nào.
Để nắm vững kiến thức về phép chia có dư, học sinh cần luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng. Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, được phân loại theo mức độ khó, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
Ngoài các bài toán chia có dư cơ bản, học sinh có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của phép chia có dư trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về phép chia có dư trong chương trình Toán nâng cao lớp 5.